¿Cuál es la forma más sencilla de demostrar que el logaritmo de cualquier prime es irracional?

Question

¿Cuál es la forma más sencilla de demostrar que el logaritmo de cualquier prime es irracional?

Puedo llegar muy cerca con un simple argumento: si $p \ne q$$\frac{\log{p}}{\log{q}} = \frac{a}{b}$, entonces porque $q^\frac{\log{p}}{\log{q}} = p$, $q^a = p^b$, pero esto es imposible por el teorema fundamental de la aritmética. Para que la proporción de los logaritmos de dos números primos es irracional. Ahora, si $\log{p}$ es racional, entonces a partir de la $\frac{\log{p}}{\log{q}}$ es irracional, $\log{q}$ es también irracional. Así, puedo concluir que en la mayoría de los uno de los prime tiene un racional logaritmo.

Me doy cuenta de que el resto se sigue de la trascendencia de $e$, pero que la prueba es relativamente compleja, y todo lo que queda por demostrar es que no hay potencia entera de $e$ es una fuente primaria de energía (porque si $\log p$ es racional, entonces $e^a = p^b$ tiene una solución). Es fácil probar que $e$ es irracional ($e = \frac{a}{b!} = \sum{\frac{1}{n!}}$, se multiplica por $b!$ y separar la suma en enteros y fracciones) pero no puedo averiguar cómo generalizar esta simple prueba para demostrar que $e^x$ es irracional para todo entero $x$; presenta una $x^n$ plazo para la suma y la parte entera y fraccionaria de las partes ya no pueden ser separados. Cómo completar este argumento, o lo que es diferente de modo elemental para mostrar que $\log{p}$ es siempre irracional?

Answer 1

Una prueba de la irracionalidad de los poderes racionales de $e$ es dada en la página 8 de Keith Conrad notas.

Answer 2

Me di cuenta de primaria prueba de que $e^2$ es irracional, aunque no parece generalizar a otros poderes:

Supongamos $e^2$ es racional. Entonces no existe $a, b, k, n$ tal que $e^2 \cdot 2^k = \frac{a}{b}$, $b = \frac{(2^n)!}{2^{2^n-1}}$, y $b$ es un entero impar. Por definición (serie de Taylor para $e^x$) tenemos $2^k \cdot e^2 = 2^k \cdot \sum_{j \ge 0}{\frac{2^j}{j!}} = H_n + T_n$, $H_n = 2^{k} \cdot \sum_{0 \le j \le 2^n}{\frac{2^{j}}{j!}}$, $T_n = 2^k \cdot \sum_{j \gt 2^n}{\frac{2^j}{j!}}$. Ya que cada término de la suma en la definición de $H_n$ se puede reducir a un denominador impar, y $b$ es un número entero divisible por cada denominador impar, $b \cdot H_n$ es un número entero. Y $0 \lt b \cdot T_n \lt \frac{2^{k+1}}{2^n}$, por lo que para suficientemente grande $n$, $b \cdot T_n$ no es un entero. Pero $2^k \cdot b \cdot e^2 = b \cdot H_n + b \cdot T_n = a$ es un número entero, que contradice la suposición de que $e^2$ es racional.

Answer 3

No estoy seguro de si esto califica como una muy elemental en la prueba (y no he trabajado en todos los detalles a mí), pero no parece ser una buena prueba de que cualquier energía racional de $e$ es irracional en Chrystal del Álgebra, que bien podría estar disponible en línea, ya que es lo suficientemente antigua como para ser de los derechos de autor. Curiosamente, Chrystal se refiere a su "Álgebra" como "Una Primaria de libros de Texto".

En mi copia (Vol II. publicado en 1889) el resultado aparece como Corolario 3, en la página 495, en el capítulo XXXIV en "General Fracciones continuas". Primero se demuestra un resultado general sobre fracciones continuas, para el efecto de que:

Si $a_2, a_3, \dots$ $b_2, b_3, \dots$ son todos los enteros positivos, entonces la continuación de la fracción $$\cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \cfrac{b_4}{a_4 + \dots}}}$$

converge a un irracional límite, siempre que después de un cierto valor de $n$ la condición de $a_n\nless b_n$ estar siempre satisfechos.

Él entonces se deduce que el anterior Corolario 3, de la expansión

$$\tanh x = \cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{3 + \cfrac{x^2}{5 + \dots}}},$$

a pesar de que él no explica la deducción en los detalles, sino que simplemente indica que se puede deducir de una manera similar a un resultado anterior se da relativas a $\pi$$\pi^2$.