El significado de la fase en la función de onda

Question

Acabo de empezar a estudiar QM y he tenido algunos problemas para entender algo:

Digamos que hay una función de onda de una partícula en una caja 1D ( $0\leq x\leq a$ ):

$$\psi(x,t=0) = \frac{i}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{2\pi}{a}x\right) + \frac{2}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{5\pi}{a}x\right)$$

Entonces, si medimos la energía, la probabilidad de obtener la energía asociada a $ \sin(\frac{2\pi}{a}x) $ es $\left| \frac{i}{\sqrt{5}} \right|^2 = \frac{1}{5}$ y la probabilidad de medir la energía asociada a $\sin\left(\frac{5\pi}{a}x\right)$ es $\left| \frac{2}{\sqrt{5}}\right|^2 = \frac{4}{5}$ . Así que la magnitud de $ \frac{i}{\sqrt{5}} , \frac{2}{\sqrt{5}} $ determina la probabilidad, pero ¿cuál es el significado de la fase? Para mí, como alguien que mide la energía, obtendré lo mismo si

$$\psi(x,t=0) = \frac{-1}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{2\pi}{a}x\right) + \frac{2}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{5\pi}{a}x\right) $$

Entonces, ¿por qué importa la fase? Si importa, ¿cómo puedo saber a qué fase se colapsó la función de onda después de la medición?

Answer 1

Esta es una cuestión importante. Es cierto que los valores de expectativa de energía no dependen de esta fase. Sin embargo, considere la densidad de probabilidad espacial $|\psi|^{2}$ . Si tenemos una superposición arbitraria de estados $\psi = c_{1} \phi_{1} + c_{2} \phi_{2}$ , entonces esto se convierte en

$|\psi|^{2} = |c_{1}|^{2}|\phi_{1}^{2} + |c_{2}|^{2} |\phi_{2}|^{2} + (c_{1}^{*} c_{2} \phi_{1}^{*} \phi_{2} + c.c.)$ .

Los dos primeros términos no dependen de la fase, pero el último sí. ( $c_{1}^{*}c_{2} = |c_{1}||c_{2}|e^{i (\theta_{2} - \theta_{1})}$ ). Por lo tanto, la densidad de probabilidad espacial puede depender en gran medida de esta fase. Recuerde también que los coeficientes (o las funciones de onda, según la "imagen" que utilice) tienen un ángulo de fase giratorio si $\phi_{1,2}$ son estados propios de energía. Esto hace que la diferencia de fase $\theta_{2} - \theta_{1}$ para girar realmente a la energía diferencia para que $|\psi|^{2}$ mostrará un movimiento oscilatorio a la frecuencia $\omega = (E_{2} - E_{1})/\hbar$ . Esto se conoce como oscilación Rabi, y también está relacionado con las transiciones ópticas y muchos otros fenómenos cuánticos.

En resumen, la información de fase de una función de onda contiene información, incluida, entre otras, la densidad de probabilidad. En una medición de energía esto no es importante, pero en otras mediciones sí puede serlo.

Answer 2

También se puede modificar la función de onda con una fase global $\psi(x)\rightarrow e^{i\phi}\psi(x)$ sin afectar a ningún valor de expectativa porque el factor de fase se cancelará al tomar productos internos, por lo que esta fase global no contiene ninguna información. En la mecánica cuántica sólo tienen sentido las fases relativas.

Answer 3

Para una partícula de masa $m$ con un Hamiltoniano simple en el espacio de posición $\mathcal{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{x})$ si se escribe una función de onda general como $$\Psi(t;\vec{x}) = \sqrt{\rho}e^{iS/\hbar}\text{,}$$ donde $S$ y $\rho\geq 0$ son reales, entonces la información de fase $S$ corresponde directamente a la corriente de probabilidad $$\mathbf{J} = \frac{\rho}{m}\nabla S\text{,}$$ cuya ecuación de continuidad resulta ser exactamente la componente imaginaria de la ecuación de Schrödinger, $$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0\text{.}$$ Como se esperaba a partir de consideraciones más generales, un factor de fase global es irrelevante porque sólo aparece su gradiente. Como nota al margen, la componente real de la ecuación de Schrödinger resulta ser la clásica ecuación de Hamilton-Jacobi corregida por un término extra proporcional a $\hbar^2$ .

La corriente de probabilidad también puede definirse en situaciones más complicadas, pero sigue siendo cierto que, desde el punto de vista moral, la información de fase es fundamental para saber cómo evoluciona la función de onda en el tiempo.