Cuando fronteridad implica totalmente fronteridad en un espacio métrico

Question

Para un subconjunto de un espacio métrico, cita de Wikipedia:

Fronteridad total implica fronteridad. Para subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ los dos son equivalentes.

¿Me preguntaba Cuáles son algunas condiciones más generales de un espacio métrico que $\mathbb{R}^n$, para que fronteridad puede implicar totalmente fronteridad?

Gracias y saludos!

Answer 1

Un espacio métrico es totalmente acotado si y sólo si su conclusión es compacto. Un subconjunto de un espacio métrico completo es totalmente acotado si y sólo si su cierre es compacto. Un espacio métrico $X$ tiene la propiedad de que su limitada subconjuntos son totalmente acotado si y sólo si la finalización de $X$ tiene la propiedad de que su cerrados y acotados los subconjuntos compactos, una propiedad que a veces se llama la de Heine-Borel de la propiedad.

Montel espacios son ejemplos de estos.

Aquí's un acceso abierto artículo de Williamson y Janos usted puede encontrar interesantes. Por ejemplo, el Teorema 1 (que se de crédito a una 1937 papel de Vaughan) dice que un metrizable, $\sigma$-compacto, localmente compacto topológica del espacio tiene una compatible métrica con la de Heine-Borel de la propiedad.