Estaba estudiando integrales y sólo por curiosidad,
¿Existe algún ' continuo funciones tales que $\int_a^af(x) \, dx$ ( $a$ es un número cualquiera) es igual a un valor distinto de $0$ ?
Dado que las funciones continuas son integrables de Riemann, creo que debería ser $0$ . ¿Es correcto?
Además, sin la condición ' continuo ¿existe alguna función tal que $\int_a^af(x) \, dx$ no es $0$ ?
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Busco cualquier función que $\int_a ^a\ f(x) \neq 0$ . ¿Alguien puede encontrarme uno?
Tienes razón, cuando se habla de la Integral de Riemann, entonces $$ \int_a^a f(x)\; dx $$ siempre igual a cero. Si esta integral está definida, entonces es cero. Para ver esto, basta con escribir la definición de la integral: $$ \int_a^a f(x)\; dx = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x $$ Aquí $\Delta x = \frac{a - a}{n} = 0$ por lo que todas las sumas serán cero, y por lo tanto el límite será cero.
No, para $f(x)$ cualquier función continua, $\int_a^a f(x)dx= 0$ . En cuanto a las funciones no continuas, lo primero que se me ocurrió fue una "función delta de Dirac" para la que $\int_C \delta(x)dx= 1$ para cualquier conjunto, C, que contenga 0. Sin embargo, una "función delta" no es una verdadera función, sino una "función generalizada" o "distribución".
Así que.., $\int_0^0 \delta (x) dx$ es igual a $1$ ?, y ¿por qué una "función generalizada" no es una verdadera función?
@zxcvber No existe ninguna función con las propiedades que $\delta$ por lo que no es una función. La notación $\int \delta(x)f(x)\mathrm{d}x$ es engañosa para los no iniciados, ya que no está definida como una integral en absoluto, sino como la aplicación de un funcional lineal llamado delta a la función $f(x)$ .
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(Primero) Teorema fundamental del cálculo...
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@imranfat Vale, entonces el valor de la integral debe ser 0 cuando la función es continua. ¿Qué pasa con las discontinuas?
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Si se utiliza la integral de Lebesgue y la medida es la medida de contaje, la respuesta es sí.
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@zxcvber Siempre es cero cuando la función $f$ es integrable. Una pregunta más interesante es algo como $\int_0^0 \frac 1x \ dx$ que ya se ha preguntado antes (aunque ahora no lo encuentro).
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He aquí un argumento heurístico (no riguroso) de por qué $\int \limits_{a}^{a} f(x)\,dx = 0$ desde el punto de vista del cálculo: Digamos que $f(a) > 0$ . Entonces $\int \limits_{a}^{a} f(x) \,dx$ representa el área bajo la curva $f(x)$ pero sólo en la región/intervalo $[a,a]$ . El "intervalo" $[a,a]$ es sólo el punto $a$ por lo que cualquier rectángulo que se dibuje sobre este intervalo tendrá $0$ de ancho. Ahora, si te doy un rectángulo y te pregunto por su área, y te digo que la longitud es $5$ pulg. y la anchura es de $0$ pulg., se calcularía el área como $5 \cdot 0 = 0$ . Por tanto, un rectángulo con $0$ ancho tiene $0$ zona.
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(cont.) Dado que cualquier rectángulo dibujado sobre la región $[a,a]$ tiene anchura $0$ entonces tiene área $0$ . Como la integral depende de estos rectángulos, la integral también será $0$ . Espero que tenga sentido.
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@user46944 Gracias, y sí tiene sentido. Entiendo el concepto 'area' pero me preguntaba si hay alguna función rara que no conozca que satisfaga la propiedad que quiero.
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@zxcvber No, no con la integral de Riemann que aprendes en Cálculo, y por extensión tampoco con la integral de Lebesgue que aprendes después en Análisis Real, ya que el intervalo $[a,a]$ tiene lo que se llama medida $0$ . Sin embargo, si aprendes algo llamado teoría de la medida, y defines integración con respecto a una medida diferente a la medida de Lebesgue, digamos como medida de conteo, o cualquier medida donde el intervalo $[a,a]$ tiene medida distinta de cero, entonces la integral no tienen ser $0$ .
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@user46944 Así que para funciones continuas, la integral es siempre $0$ . ¿Puede mostrarme un ejemplo de lo que menciona? ¿Cuándo no tiene que ser $0$ ?
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@zxcvber Respecto a tu primer punto sobre las funciones continuas, si no lo sabes ya, recuerda que la integral de Riemann que aprendemos en cálculo sólo es finita si la función integrando es continua en casi todas partes (es decir, su conjunto de discontinuidades es tan pequeño que tiene "medida 0"). Así que, no, la función no tiene que ser completamente continua, pero tiene que ser mayoritariamente continua para poder hablar de la integral de Riemann, y para estas funciones mayoritariamente continuas, sí, la integral anterior siempre será $0$ .
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@zxcvber A tu pregunta: Si conoces alguna teoría de medidas, entonces define $\mu$ como medida de recuento, lo que significa que para cualquier conjunto $A \subseteq \Bbb R$ , $\mu(A)$ (la medida de $A$ ) es el número de elementos en $A$ . Por tanto, el intervalo $[a,a]$ tiene un elemento, por lo que $\mu([a,a]) = 1$ . Ahora, toma $f(x) =1$ para cada $x \in \Bbb R$ . Así que $f$ es la función constante $1$ . Entonces $\int \limits_{a}^{a} f(x) \,d\mu = 1$ . Fíjese en el $dx$ de antes se sustituye por $d\mu$ aquí porque $dx$ normalmente significa que la integral es con respecto a la medida de Lebesgue. $d\mu$ significa que es con respecto a la medida $\mu$ .
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¡Eso lo aclara todo! Me gustaría que fuera una respuesta .. ¡Gracias!
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@zxcvber ¡De nada! :)