¿Si implica la $\Sigma \vdash \phi$ $\Sigma \vdash \varphi$ y $\Sigma \vdash \phi \to \varphi$ en la lógica proposicional?

Question

Mi objetivo principal es demostrar o refutar que si $\Sigma \vdash \phi$ implica $\Sigma \vdash \varphi$ $\Sigma \vdash \phi \to \varphi$ donde $\Sigma$ donotes un conjunto de oraciones en lógica proposicional.

$\Sigma \vdash \phi$ significa que hay una deducción de $\Sigma$ cuando la deducción es una secuencia $( \alpha_0 , \dots , \alpha_n)$ $a_i$ es de $\Sigma$ o una consecuencia de la MP (que es, para algunos $j,k<i$ $\alpha_k = \alpha_j \to \alpha_i$ y $\alpha_i$ sigue de ellos) o una tautología.

Estoy completamente atascado ahora. He intentado probarlo pero no tengo idea sobre cómo llevar a $\phi$ a una deducción de la secuencia. Y también he intentado hacer un counterexmaple pero no simple que pude encontrar.

Incluso en mi mera intuición, no puedo juzgar claramente si es verdadera o falsa.

(También he pensado en el empleo de la Integridad y la Solidez de Thm..)

Answer 1

Tomar Σ aquí para ser sólo los axiomas de la lógica proposicional, y tome $\phi$ a ser algunos proposicional átomo de $p$. Entonces Σ ⊢ $\phi$ es falso, y por lo tanto "Σ ⊢ $\phi$ implica Σ ⊢ $\varphi$" es cierto para cualquier $\varphi$. Ahora tome $\varphi$ a de ser algún otro átomo $q$. $[p \rightarrow q]$ no es una tautología. Si una fórmula no es una tautología, entonces no es demostrable a partir de Σ, debido a la solidez metatheorem. Así, Σ ⊢ $(\phi \rightarrow \varphi)$ es falso. Por lo tanto, "si Σ ⊢ ϕ implica Σ ⊢ φ entonces Σ ⊢ $(\phi \rightarrow \varphi)$" es falso en general.

(De hecho, $p,q$ no necesita ser átomos, que puede ser llevado a ser independiente de las fórmulas. Es decir, las fórmulas tales que para cada par de valores de verdad a $(b_1,b_2)$, hay al menos una valoración de cual $p$ $q$ valores $b_1$ $b_2$ respectivamente).