Un espacio conectado que no es ni localmente conectado ni conectado por trayectoria

Question

Este es el problema 3.19.3 de Dieudonné Fundamentos del análisis moderno (en mis palabras). Para $x$ un número racional, sea $E_x=\{x\}\times\left[-1,0\right[$ y para $x$ un número irracional, sea $E_x=\{x\}\times[0,1]$ . Sea $E=\bigcup_{x\in\mathbf{R}}E_x$ con la topología del subespacio. Demuestre que $E$ está conectado.

Existe la siguiente pista: "Utilice (3.19.1) y (3.19.6) para estudiar la estructura de un subconjunto de $E$ que es a la vez abierta y cerrada".

(3.19.1) es el hecho de que los subespacios conectados de $\mathbf{R}$ son intervalos y que los intervalos están conectados. (3.19.6) es el hecho de que cualquier conjunto abierto de $\mathbf{R}$ es una unión disjunta contable de intervalos abiertos.

Mis pensamientos: Deja que $A$ sea un subconjunto cerrado de $E$ . Es bastante obvio que, para cualquier $x\in\mathbf{R}$ , $A$ contiene todos los elementos o ningún elemento de $E_x$ . Así que definimos un subconjunto $B$ de la línea real por $B=\{x\in\mathbf{R}:E_x\subset A\}$ . Ahora pensaba que $B$ tiene que ser también clopen (en $\mathbf{R}$ ). Pero no puedo probarlo. No tengo problemas en demostrar que cualquier punto irracional de $B$ es un punto interior, y que cualquier punto irracional de $\overline{B}$ está en $B$ pero nada sobre los puntos racionales. Estaba bastante seguro de que este es el camino a seguir, ya que la pista es exclusivamente sobre subconjuntos de $\mathbf{R}$ .

Se agradece cualquier pista o comentario (adicional).

Answer 1

Partiendo de lo que ya ha demostrado para los puntos irracionales:

Supongamos que un punto racional $b$ de $\overline{B}$ no está en $B$ . Entonces $E_b$ no está en $A$ . Desde $b$ está en $\overline{B}$ hay una secuencia en $B$ que converge a $b$ . Cada punto irracional $x$ de esta secuencia es un punto interior de $B$ y, por tanto, tiene una vecindad contenida en $B$ . Esta vecindad contiene un número racional que está más cerca de $b$ que $x$ . Sustituir todos los puntos irracionales de la secuencia por los puntos racionales así elegidos. Se obtiene una secuencia de números racionales en $B$ convergiendo a $b$ y, por tanto, las secuencias correspondientes en $A$ convergiendo a puntos en $E_b$ , contradiciendo el hecho de que $A$ es clopen y $E_b$ no está en $A$ . Por lo tanto, todos los puntos racionales de $\overline{B}$ mienten en $B$ y $B$ está cerrado.

Análogamente, supongamos que un punto racional $b$ de $B$ no es un punto interior. Entonces hay una secuencia de puntos que no están en $B$ que converge a $b$ . Cada punto irracional $x$ de esta secuencia tiene una vecindad que se encuentra completamente fuera de $B$ (ya que de lo contrario estaría en $\overline{B}$ y, por tanto, en $B$ ). Esta vecindad contiene un punto racional $y$ que está más cerca de $b$ que $x$ . De nuevo, sustituya todos los puntos irracionales de la secuencia por los puntos racionales así elegidos. Se obtiene una secuencia de números racionales que no están en $B$ convergiendo a $b$ y, por lo tanto, las secuencias correspondientes que no están en $A$ convergiendo a puntos en $E_b$ , contradiciendo el hecho de que $A$ es clopen y $E_b$ está en $A$ . Por lo tanto, todos los puntos racionales de $B$ son puntos interiores, y $B$ está abierto.

Answer 2

Considere el conjunto $B$ tal y como usted lo ha definido. Afirmo que $B$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ . Si $x\in B$ y $x$ es irracional, entonces $(x,0)\in A$ y así $A$ contiene una bola alrededor de $(x,0)$ y así $A$ contiene puntos de $E_y$ para todos $y$ lo suficientemente cerca de $x$ . Así que $x$ está en el interior de $B$ , como se desee. Si $x$ es racional, por el contrario, entonces $A$ contiene puntos de $E_y$ para todos los racionales $y$ lo suficientemente cerca de $x$ y así $E_y\subset A$ para todos los racionales $y$ lo suficientemente cerca de $x$ . En este caso, como el complemento de $A$ es abierto, significa que el cierre de dicho $E_y$ debe estar contenida en $A$ pero el cierre de tales $E_y$ incluye todos los puntos de la forma $(z,0)$ por irracional $z$ lo suficientemente cerca de $x$ . Así, de nuevo, $x$ está en el interior de $B$ , según se desee.

Ahora, considerando el complemento de $A$ que $B$ también es clopen, lo que sería una contradicción a menos que $A$ y por lo tanto $B$ estaba vacío o todo el espacio.

(Ahora veo que Joriki ha contestado mientras yo escribía esto...)