Aplicaciones de cohomología étale

Question

Es bien sabido que étale cohomology se utiliza en la prueba de Weil conjeturas y que SGA 4.5 está dedicado a ella. También parece(a partir de una breve lectura de Milne notas) que es una especie de Galois Cohomology/Kummer teoría arbitrarias de variedades algebraicas.

Sin embargo, he oído un montón de gente alabando, y esto me lleva a sospechar que se debe tener aplicaciones más allá de probar las conjeturas de Weil. Estaría agradecido si algunos de estos pueden ser dados. Lo siento si es una pregunta estúpida. La página de la wikipedia, Milne artículo, etc., no se da ninguna aplicaciones extra y así espero que pedir a la gente que es más sensible. Favor de proporcionar referencias también si está disponible.

Answer 1

Una de las aplicaciones más importantes de etale cohomology es Deligne-Lusztig teoría, y la gran posterior del cuerpo del trabajo se aproxima a la representación de los grupos finitos de Mentira que tipo de uso $\ell$-ádico cohomology. Para mí, esta es la aplicación más importante más allá de las conjeturas de Weil.

Además de los originales en papel de Deligne y Lusztig "Representaciones de la reductora grupos de más finito campos", en Ann. de Matemáticas de 1976, usted podría estar interesado en el libro "las Conjeturas de Weil, Perversa Poleas y l'adic transformada de Fourier", por Weissauer y Kiehl'.

Answer 2

Si $X$ es una variedad más de $k$, $\ell$- ádico cohomology grupos $H^i(X\otimes_k \overline{k},\mathbb{Q}_\ell)$ realizar una acción de $Gal(\overline{k}/k)$. Esto hace que etale cohomology un muy eficiente (y la única?) herramienta para producir interesantes representaciones de Galois.

Un ejemplo típico es $H^1(E_{\overline{Q}},Q_\ell)$ para una curva elíptica $E$$\mathbb{Q}$. Este es dual a $(\varprojlim E[\ell^n]) \otimes_{Z_\ell} Q_\ell$ donde $E[\ell^n] \subset E(\overline{\mathbb{Q}})$ es el conjunto de $\ell^n$-torsión puntos de la curva. La acción de la $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ $H^1(E_{\overline{\mathbb{Q}}},\mathbb{Q}_\ell)$ corresponde a su acción en $E(\overline{Q})$. Así, para cada curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$, se obtiene un 2 dimensiones de la representación de $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ (en realidad, uno para cada una de las $\ell$). Estos son el centro de los objetos en la aritmética de curvas elípticas.

La prueba de la Langlands correspondencia para $GL_n$ por Drinfeld y Lafforgue utiliza el mismo principio. Para asociar un Galois representación a un automorphic representación se dan cuenta de que es una $\ell$-ádico cohomology grupo de un espacio.