Encontrar el máximo valor posible de la suma

Question

Que $x_{1},...,x_{100}$ ser números verdaderos no negativos tales que $x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2} \leq 1$ % todo $i=1,....,100$(ponemos $x_{101}=x_{1}, x_{102}=x_{2})$ encontrar el máximo valor posible de la suma $$\sum_{i=1}^{100} x_{i}x_{i+2}$ $

¿Es difícil problema, cualquier ayuda chicos? se trata de Olimpiada

Answer 1

Que $x_{2i}=0, x_{2i-1}=\frac{1}{2}$ % todo $i=1,...50$entonces tenemos $S=50\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{25}{2} $ así, sólo nos queda para mostrar que $S\leq \frac{25}{2}$ para todos los valores de %#% de #% satisfacer las condiciones del problema.

Considerar cualquier $x_{i}$ por la condición del problema, obtenemos $1\leq i\leq 50.$ y $x_{2i-1}\leq 1-x_{2i}-x_{2i+1}$ ahí por la desigualdad de AM-GM obtenemos $x_{2i+1}\leq 1-x_{2i}-x_{2i+1}$ $

Resumiendo estas desigualdades $$x_{2i-1}x_{2i+1}+x_{2i}x_{2i+1}\leq (1-x_{2i}-x_{2i+1})x_{2i+1}+x_{2i}(1-x_{2i}-x_{2i+1})= (x_{2i}+x_{2i+1})(1-x_{2i}-x_{2i+1})\leq \left ( \frac{(x_{2i}+x_{2i+1})+(1-x_{2i}-x_{2i+1})}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}$ obtenemos la desigualdad deseada $i=1,...,50$ $

Y HEMOS TERMINADO