¿Cómo puedo calcular este límite sin utilizar L ' Hopital ' s regla $\lim_{x\rightarrow0} \frac{e^x-1}{\sin(2x)}$?

Question

Quiero calcular el límite que está por encima sin utilizar la regla de L'hopital;

$$\lim_{x\rightarrow0} \frac{e^x-1}{\sin(2x)}$$

Answer 1

Usando el hecho de que $$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-1 }{ x } =1 } \\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { x } }{ x } =1 } $$ we can conclude that $% $ $\\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-1 }{ \sin { 2x } } } =\frac { 1 }{ 2 } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-1 }{ x } \frac { 2x }{ \sin { 2x } } } =\frac { 1 }{ 2 } $

Answer 2

Como un enfoque alternativo y sin duda más mecánico, usted puede serie ampliar la parte superior e inferior:

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ x }-1 }{ \sin2x }} =\lim _{ x\rightarrow 0 }\frac{1+x+O(x^2)-1}{2x+O(x^3)}=\frac12$$

Esto funcionará para la mayoría de fracciones si la variable tiende a $0$. De hecho, la regla de l'Hopital esencialmente proviene de serie expansión $\frac{f(x)}{g(x)}$, por lo que en un sentido que estamos haciendo lo mismo.

Answer 3

Equivalentes: $\;\mathrm e^x-1\sim_0 x$, $\;\sin 2x\sim_0 2x$, que $\;\dfrac{\mathrm e^x-1}{\sin 2x}\sim_0\dfrac{x}{2x}=\dfrac12.$