Producto de consecutivos Fibonacci números divisibilidad

Question

Demostrar que el producto de cualquier $k$ números de Fibonacci consecutivos es divisible por el producto de los primeros números de Fibonacci de $k$.

Podemos tratar de mostrar cada % primer $p$, el poder de $p$ que aparecen en el producto $F_1F_2\ldots F_k$ es menor que la que aparece en $F_{i+1}F_{i+2}\ldots F_{i+k}$. Esto sería suficiente. Pero el problema es que la forma cerrada, $F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-(-\varphi)^{-n})$ donde $\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, no parece de mucha ayuda.

Answer 1

Tenemos $$ F_{n+m}=F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_{m}$$ De hecho, la o $m=0$ la demanda es$F_n=F_n\cdot 1+F_{n-1}\cdot 0$; $m=1$ la demanda es $F_{n+1}=F_n\cdot 1+F_{n-1}\cdot 1$; y para mayor $m$ la demanda de la siguiente manera a partir de la adición de los correspondientes igualdades para$m-1$$m-2$. Definir $$P(i,k):=F_{i+1}\cdot F_{i+2}\cdot\ldots\cdot F_{i+k}.$$, Entonces tenemos la identidad $$ \begin{align}P(i,k)&=P(i,k-1)F_{i+k}\\&=P(i,k-1)(F_kF_{i+1}+F_{k-1}F_i)\\&=P(i,k-1)F_kF_{i+1}+P(i-1,k)F_{k-1}\end{align}$$ Esto nos permite mostrar la

La reclamación. Para $k\ge1$, $i\ge1$ tenemos $P(1,k)\mid P(i,k)$.

Prueba. El caso de $i=1$ es trivial, ya que me recorren el caso de $k=1$. Para todos los otros casos, se utiliza el de arriba a la identidad: Si $P(i,k-1)=cP(1,k-1)$$P(i-1,k)=dP(1,k)$, luego $$P(i,k)=P(i,k-1)F_kF_{i+1}+P(i-1,k)F_{k-1}=(cF_{i+1}+dF_{k-1})P(1,k)$$ como iba a ser mostrado. $_\square$