Producto de dos grupos cíclicos es cíclico iff sus órdenes son primer Co

Question

Decir que hay dos grupos de $G = \langle g \rangle$ con el fin de $n$ $H = \langle h \rangle$ con el fin de $m$. A continuación, el producto $G \times H$ es un grupo cíclico si y sólo si $\gcd(n,m)=1$.

Me parece que no puede averiguar cómo empezar a probar esto. He probado con algunos ejemplos, donde puedo recoger $(g,h)$ como candidato generador de $G \times H$. Veo que lo que queremos es que los ciclos de $g$$h$, como tomar los poderes de $(g,h)$, para intercalar tal de que no conseguimos $(1,1)$ hasta el $(mn)$-ésima potencia. Sin embargo, estoy teniendo un tiempo difícil la formalización de este y en relación con el máximo común divisor.

Las sugerencias se agradece mucho!

Answer 1

% Toque $\rm\quad\ \ gcd(m,n) > 1$

$\rm\quad\iff\ lcm(m,n) < mn$

$\rm\quad\iff\ \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\ $ tiene todo ELT de orden $\rm < mn$

$\rm\quad\iff\ \mathbb Z_m \times \mathbb Z_n\ $ es

Answer 2

Tenga en cuenta que $|G\times H|=|G||H|=nm$; así $G\times H$ es cíclico si y solamente si hay un elemento de orden $nm$ $G\times H$.

En cualquier grupo $A$, si $a,b\in A$ conmutar uno con el otro, $a$ tiene orden $k$ y $b$ $\ell$ luego el orden de $ab$ dividirá lcm $(k,\ell)$ orden (demostrarlo).

Ahora tome un elemento de $G\times H$, escrito como $(g^a,h^b)$, donde $G=\langle g\rangle$, $H=\langle h\rangle$, $0\leq a\lt n$, $0\leq b\lt m$. Entonces $(g^a,h^b)=(g^a,1)(1,h^b)$. En este caso, ¿cuál es el orden? ¿En qué condiciones se puede obtener un elemento de orden exactamente $nm$, que es lo que necesita?

Answer 3

El orden de $G\times H$$n.m$. Por lo tanto, $G\times H$ es cíclico fib tiene un elemento con el fin de $n.m$. Supongamos $gcd(n.m)=1$. Esto implica que $g^m$ orden $n$, y de forma análoga $h^n$ orden $m$. Es decir, $g\times h$ orden $n.m$, y por lo tanto $G\times H$ es cíclico.

Supongamos ahora que $gcd(n.m) >1$. Deje $g^k$ ser un elemento de $G$ $h^j$ ser un elemento de $H$. Desde el mínimo común múltiplo de a $n$ $m$ es inferior a la del producto$n.m$, $lcm(n,m) < n.m$, y desde $(g^k)^{lcm(n,m)} = e_{G}$, $(h^j)^{lcm(n,m)} = e_{H}$, tenemos $(g^k\times h^j)^{lcm(n,m)} = e_{G\times H}$. De ello se desprende que cada elemento de a $G\times H$ es de orden inferior $n.m$, y por lo tanto $G\times H$ no es cíclico.