Familias normales

Question

Supongamos que $\mathcal{F}$ es una familia de funciones analíticas del disco unitario. Supongamos también que $( Re(f(z)) )^2 \ne ( Im(f(z)) ) $ para todos $|z|<1$ y todos $f \in \mathcal{F}$ .

Se desprende de la Prueba de normalidad fundamental que $\mathcal{F}$ es una familia normal.

¿Existe una forma elemental de mostrar $\mathcal{F}$ es una familia normal sin invocar la prueba de normalidad fundamental?

Answer 1

Su condición significa que si $\gamma$ es la parábola $x^2-y=0$ entonces para cualquier $f\in\mathcal{F}$ tenemos $f(\mathbb{D})\cap\gamma=\emptyset$ . Así, $\mathcal{F}=\mathcal{G}\cup \mathcal{H}$ donde cada $g$ en $\mathcal{G}$ mapea el disco en el conjunto abierto $x^2-y>$ 0 y cada $h$ en $\mathcal{H}$ mapea el disco en el conjunto abierto $x^2-y<0$ .

Ahora sólo hay que notar que estos dos conjuntos abiertos son biholomorfos al disco unidad por el teorema de uniformización, por lo que $\mathcal{G}$ y $\mathcal{H}$ son familias normales. Si no quieres usar el teorema de uniformización intenta demostrar a mano que los conjuntos abiertos son biholomorfos al disco.

Answer 2

En realidad, se puede evitar la uniformización y utilizar simplemente el siguiente criterio de normalidad:

Teorema (Montel). Si existe un conjunto abierto no vacío $U$ de manera que todas las funciones de $\mathcal{F}$ omitir todos los puntos de $U$ entonces $\mathcal{F}$ es normal.

(Al postcomponer con una transformación de M\"obius, podemos suponer que la familia $\mathcal{F}$ está uniformemente acotado, y la afirmación se deduce, por ejemplo, del teorema de Marty).

Dado que cada una de sus funciones omite uno de los dos dominios complementarios de la mencionada parábola, su familia es la unión de dos familias normales y, por tanto, ella misma es normal.