Hay un número racional entre dos irrationals?

Question

Supongamos $i_1$ $i_2$ son distintos números irracionales con $i_1 < i_2$. Es necesariamente el caso de que no es un número racional $r$ en el intervalo de $[i_1, i_2]$? ¿Cómo se construye un número racional?

[He publicado esto sólo para que las respuestas útiles a las Racionales y irrationals en la recta numérica real podría ser fusionado aquí antes de que la pregunta fue eliminada.]

Answer 1

Vamos $x,y\in\mathbb{R}$, $x\neq y$. Sin pérdida de generalidad, supongamos $x<y$. Entonces existe un positivo $z$ tal que $y-x=z$.

Por Arquímedes axioma, existe un número natural $n$ tal que $$n > \dfrac{1}{z}$$ $$nz > 1$$ $$ny - nx > 1$$ De modo que existe un entero $m$ tal que $$nx < m < ny$$ $$x < \frac{m}{n} < y$$ es decir, $m/n$ es un número racional entre el$x$$y$.

Desde $x$ $y$ puede ser de cualquiera de los números reales, en particular, que puede ser irrationals.

Answer 2

Deje $a$ $b$ ser distinto irrationals; perdemos generalidad no suponer $a<b$. Asumir que tienen igual número entero partes, ya que de lo contrario no es un número entero entre ellos y la pregunta es trivial. Tienen infinitos decimales expansiones, $.a_1a_2a_3\ldots$$.b_1b_2b_3\ldots$. Estos no se ponen de acuerdo en cada posición, ya que de lo contrario $a=b$. Así que decir que de acuerdo a la $n-1$th posición y difieren en el $n$th. A continuación, $$ x= \;.b_1b_2b_3\ldots b_n 0000000\ldots$$

es un número racional estrictamente entre el$a$$b$:

$$\begin{align} a &= \;.a_1a_2\ldots a_{n-1}a_n\ldots \\& <\; .a_2a_2\ldots a_{n-1}b_n000\ldots &= x \end{align}$$

debido a $a_n < b_n$, y

$$\begin{align} x & = \;.b_1b_2b_3\ldots b_n 0000000\ldots \\ & < \;.b_1b_2b_3\ldots b_nb_{n+1}\ldots & = b \end{align}$$

porque no todos los de $b_{n+1}, b_{n+2}, \ldots$ puede ser cero.

Por ejemplo, no es un número racional comprendido entre $\sqrt2 = 1.4142\ldots$$\sqrt3 -\frac14 = 1.482\ldots$; este método produce el número racional $1.48000\ldots = \frac{37}{25}$. Por supuesto, usted puede hacer lo mismo en la base 2; entonces usted consigue $x = 1._20111000\ldots = \frac{23}{16}$, que también funciona.

También sería bastante fácil producir un argumento similar basado en la continuidad de la fracción expansiones de $a$$b$, pero creo que esto es más sencillo.

Answer 3

Se puede aplicar un "argumento de autoridad" aquí :). Como todos sabemos, Dedekind construido una correspondencia uno a uno entre los números reales y ciertos conjuntos de números racionales, que él llamó los "recortes". Todos aceptamos que Dedekind la construcción de los números reales es matemáticamente perfecta. Por la forma en que estos recortes están construidos (ver su 1872 papel), si hubiera dos números irracionales sin un número racional en el medio, entonces estos dos números irracionales correspondería a la misma Dedekind Corte. Esto implicaría que no hay una correspondencia uno a uno entre los números reales y sus cortes, de ahí Dedekind la construcción de los reales sería incorrecta (--> contradicción).

Answer 4

Se puede construir una forma explícita. Suponga $0\lt a \lt b$. Deje $n= \max(2,\lceil \frac 2{b-a}\rceil)$. A continuación, vamos a $m=\lceil na \rceil$ $a \lt \frac m n \lt b$

Answer 5

Ser $a$ $b$ dos números irracionales, con $a<b$. Desde $a<b$,$b-a>0$. Ahora hay números racionales arbitraria cerca de $0$, y por lo tanto no hay un número racional $q<b-a$. Ahora consideremos el conjunto $M=\{qn: n\in \mathbb{Z}\}$. Ahora se $q_l$ el elemento más grande de $M$ menos de $a$, e $q_r$ el elemento más pequeño de $M$ mayor que $b$. Claramente $q_r-q_l > b-a$. Sin embargo, si no hay ningún número racional entre el$a$$b$, entonces no es especialmente ningún elemento de $M$$a$$b$, debido a que todos los elementos de a $M$ son racionales. Pero, a continuación, $q_r$ es el elemento de la $M$$q_l$, $q_r-q_l = q$. Pero por construcción, $q<b-a$, por lo que tenemos $b-a < q_l-q_r = q < b-a$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, hay al menos un elemento de a $M$, que es un número racional, entre la $a$$b$.