Permutaciones en números complejos

Question

La pregunta es:

Que $S=\mathbb{C}-\{1,0\}$. Describir el subgrupo de $\operatorname{Perm}(S)$ generados por las funciones: $f:S\rightarrow S, z\mapsto 1-z$ y $g:S\rightarrow S, z\mapsto 1/z$.

---

Estoy teniendo problemas para reunir tales permutaciones bajo $S$ que consisten en los números complejos. ¡Cualquier ayuda sería genial!

Gracias en avanzada.

Answer 1

Sugerencias:

Bien, para empezar, ambos $\,f,g\,$ son involuciones:

$$f^2(z):=f(1-z):=1-(1-z)=z\;,\;\;g^2(z):=g\left(\frac{1}{z}\right):=\frac{1}{\frac{1}{z}}=z$$

Siguiente:

$$fg(z):=f\left(\frac{1}{z}\right):=1-\frac{1}{z}\;,\;\;gf(z):=g(1-z):=\frac{1}{1-z}\Longrightarrow$$

$$gfg(z)=g\left(1-\frac{1}{z}\right):=\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{z}{z-1}$$

$$fgf(z)=f\left(\frac{1}{1-z}\right)=1-\frac{1}{1-z}=\frac{z}{z-1}\ldots$$

Answer 2

\begin{align} \operatorname{id}(z) & = z \\[10pt] f(z) & = 1-z \\[10pt] g(z) & = \frac1z \\[10pt] f(g(z)) & = \frac{z-1}{z} \\[10pt] g(f(z)) & = \frac{1}{1-z} \\[10pt] f(g(f(z))) & = \frac{z}{1-z} \\[10pt] \end {Alinee el}

Ahora ve a través de las posibles composiciones de estas seis funciones y observar que nunca conseguir cualquier más funciones además de thes seis y también que cada función de esta lista tiene una función inversa que también está en esta lista.

Answer 3

Los elementos de nuestro grupo es palabras en la % letras $f$y $g$. Para empezar, aviso que $g(g(z))=z$ y $f(f(z))=z$ así que podemos ignorar pares de la misma carta. Nuestros elementos son ahora alternando cuerdas de $f$ y $g$. La identidad es la cadena vacía. ¿Ahora conmuten? $f(g(z))=1-\frac 1z, g(f(z))=\frac 1{1-z}$, no pero $g(f(g(z)))=\frac z{z-1}$ que nos da el $f(g(f(g(z))))=1-\frac z{z-1}=\frac 1{1-z}=g(f(z))$. Esto nos da que $f(g(f(z)))=g(f(g(z)))$ y cualquier palabra puede ser reducida a no más de tres aplicaciones de una función. Así que nuestro grupo consiste en $\{\emptyset,f,g,fg,gf,fgf\}$ con la operación de concatenación y $f^2=g^2=\emptyset, fgf=gfg$

Answer 4

@eXtremity de las respuestas anteriores deben ser capaces de deducir que su subgrupo es isomorfo a S $_3$, el grupo simétrico en tres letras.