demostrar que $f(c)=\frac{1}{2}(c-a)(c-b)f''(\xi)$ $\xi \in (a,b)$

Question

Un $f(x)$ de la función es continuo en $[a,b]$ y $f''(x)$ existe para todos $x\in (a,b)$. IF $c\in (a,b)$ $f(a)=f(b)=0$ demostrar que $f(c)=\frac{1}{2}(c-a)(c-b)f''(\xi)$ $\xi \in (a,b)$.

No tengo ni idea para solucionarlo. Sé que tengo que utilizar MVT de Lagrange. Por favor ayuda.

Answer 1

Considerar $g:x\mapsto (b-a)f(x)-\frac 12 (a-b)(b-x)(x-a)C$

Usted puede encontrar $C$ tal que $g(c)=0$.

Tenga en cuenta que $g(a)=g(b)=g(c)=0$, así que hay un $\xi$ tal que $g''(\xi)=0$.

Answer 2

Sí de hecho funciona MVT de Lagrange,

Que $a<\delta_1<c<\delta_2<b$ y $\xi \in (\delta_1,\delta_2)$.

Si empezamos con la siguiente expresión,

$\displaystyle \frac{1}{b-a}\left(\frac{f(c)-f(a)}{c-a}-\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right)$

Ahora, debe existir $\delta_1\in(a,c)$ & $\delta_2\in(c,b)$ tal que $\displaystyle f'(\delta_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}$ & $\displaystyle f'(\delta_2)=\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$ por Lagrange MVT

Ahora Supongamos entonces $\delta_1<\xi<\delta_2$ $f'(x)$ existe en $(a,b)$ y continua en $[\delta_1,\delta_2]$ nuevo por MVT Lagrange tenemos,

$\displaystyle f''(\xi)=\frac{f'(\delta_2)-f'(\delta_1)}{\delta_2-\delta_1}$

Así se convierte la primera expresión,

$\displaystyle \frac{1}{b-a}\left(\frac{f(c)-f(a)}{c-a}-\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\right) = \frac{f'(\delta_2)-f'(\delta_1)}{b-a}=\frac{f'(\delta_2)-f'(\delta_1)}{2(\delta_2-\delta_1)}=\frac{1}{2}f''(\xi)$

donde $\displaystyle \left(\frac{b-a}{2}=\delta_2-\delta_1\right)$

Desde $f(a)=f(b)=0$ esto es equivalente a $\displaystyle f(c)=\frac{1}{2}(c-a)(c-b)f''(\xi)$