Resolución de una matriz como ecuación diferencial

Question

Si tengo una matriz

$$A = \begin{bmatrix}5 & 4 & -6\\-2 & -1 & 2\\2 & 0 & -3\end{bmatrix}$$

¿Cómo puedo resolver $x'=Ax$ como una ecuación diferencial? Mi libro de texto explica esto de una manera bastante confusa y realmente no lo estoy entendiendo - lo que si acabo de encontrar los valores propios - ¿la solución sería algo que ver con eso o podría simplemente utilizar algún tipo de eliminación gaussiana?

Cualquier ayuda será muy apreciada, muchas gracias. :)

Answer 1

La solución de su ecuación diferencial es $$x(t) = e^{At}$$ donde $e^{A}$ se define como $$e^A = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}.$$ Esta serie infinita se puede evaluar escribiendo $A = PDP^{-1}$ la descomposición de valores propios de A (suponiendo que exista), donde $D$ es una matriz diagonal de valores propios de $A$ . Para ver un ejemplo, consulte http://www.millersville.edu/~bikenaga/álgebra lineal/matriz-exponencial/matriz-exponencial.html .

Answer 2

Necesitas los valores propios, la idea principal es que $$\frac{d}{dt} e^{At}= A e^{At}$$ Para calcular $e^{At}$ necesitas los valores propios y su multiplicidad, la elimenación gaussiana no te ayudará.

Los valores propios de su matriz son $$\sigma=\{ 1+2i,1-2i,1\}$$ y los vectores propios son $$\begin{pmatrix} 2+i \\ - 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 2-i\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Así que el sistema es una combinación lineal de $e^{\lambda_i t} v_i$ .