demostrar que $a_{n+874}=a_{n}$ si tal $a_{n+2}=\left\lceil \frac{4}{3}a_{n+1}-a_{n}+0.5\right\rceil$

Question

Que la secuencia $\{a_{n}\}$ sea tal que $a_{1}=1, a_{2}=100$ y $$a_{n+2}=\left\lceil \dfrac{4}{3}a_{n+1}-a_{n}+0.5\right\rceil$$

Demostrar que la secuencia $\{a_{n}\}$ es periódica.

He utilizado un ordenador y he comprobado que el periódico es $T=874$ Pero, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino una observación.

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El siguiente gráfico muestra el conjunto de puntos $P = \{(a_n, a_{n+1}) : n \geq 1\}$ .

$\hspace{8em}$

Obsérvese que están confinados en una región muy estrecha y se agrupan cerca de una elipse. Esta elipse no es difícil de identificar. De hecho, si una secuencia $(b_n)$ satisface

$$ b_{n+2} = \frac{4}{3}b_{n+1} - b_n, $$

entonces se deduce que

$$ \det \begin{pmatrix} b_{n+1} & b_n \\ b_{n+2} & b_{n+1} \end{pmatrix} = b_{n+1}^2 - \frac{4}{3}b_{n+1}b_n + b_n^2 $$

es constante, ya que

$$ \begin{pmatrix} b_{n+2} & b_{n+1} \\ b_{n+3} & b_{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \frac{4}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{n+1} & b_n \\ b_{n+2} & b_{n+1} \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \frac{4}{3} \end{pmatrix} = 1. $$

Así, los puntos $(b_n, b_{n+1})$ se queda para siempre en la elipse

$$f(x, y) := x^2 - \frac{4}{3}xy + y^2 = \text{const}.$$

Si podemos demostrar de alguna manera que $f(a_n, a_{n+1})$ también está limitada por algún argumento de perturbación, entonces como la región $f(x, y) \leq c$ está acotado y $P$ sólo tiene puntos enteros, podemos argumentar que $(a_n)$ es eventualmente periódica. Pero en este momento, no estoy seguro de que esta observación sea realmente útil.

Answer 2

N.B. Esta no es la respuesta completa, sino una extrapolación de la pista proporcionada por @SangchulLee.

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En primer lugar podemos reescribir la recurrencia como

$$a_{n+2}=\frac{4a_{n+1}}{3}-a_{n}+v_{n+1}$$ donde $$v_{n+1}=\begin{cases} 1 & a_{n+1} = 0 \bmod 3\\ \frac{2}{3} & a_{n+1} = 1 \bmod 3 \\ \frac{4}{3} & a_{n+1} = 2 \bmod 3 \end{cases}$$

Ahora definimos $$A_{n} = \begin{bmatrix} a_{n+1} & a_{n} \\ a_{n+2} & a_{n+1} \end{bmatrix}$$ $$B = \begin{bmatrix} 0&1 \\ -1&\frac{4}{3} \end{bmatrix}$$ $$U_1 = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$

$$U_2 = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 1&0 \end{bmatrix}$$ Esto significa que $$A_{n+1} = BA_{n}+v_{n+1}U_1+v_{n+2}U_2$$ Entonces podemos escribir $$\det(A_{n+1}-v_{n+2}U_2) = \det(A_{n}+v_{n+1}B^{-1}U_1) $$

Simplificando esto se obtiene $$a_{n+2}^2-\frac{4a_{n+2}a_{n+1}}{3}+a_{n+1}^2-v_{n+1}(a_{n+2}+a_{n+1}) = a_{n+1}^2-\frac{4a_{n+1}a_n}{3}+a_n^2-v_{n+1}(a_{n+1}+a_n)$$

Obsérvese que la ecuación $x^2-4xy/3+y^2-v(x+y)=C$ representa una elipse para una constante dada $C$ y $v\in\{1,2/3,4/3\}$

No he podido continuar desde aquí. Espero que esto ayude aunque sea un poco tarde.

Answer 3

Resta la ecuación de $a_{n+1}$ de la de $a_{n+2}.$ Esto elimina la constante, y se obtiene $$ -a_{n-1}+\frac73 a_n -\frac73 a_{n+1}+a_{n+2} = 0. $$ Y a partir de ahí.