Un justo 5 lados de la muerte

Question

Los dados poliédricos comúnmente usados tienen todos lados de la misma forma. Sin embargo, ¿es estrictamente necesario?

Toma un prisma triangular. Un prisma triangular con poca altura comparado con el borde de la base casi siempre caería sobre una de sus bases al ser lanzado. Un prisma triangular de gran altura caería como un "cilindro de tres lados", casi siempre sobre uno de los lados planos.

¿Cómo se vería un prisma triangular justo que cae en cualquiera de sus lados con igual probabilidad?

Answer 1

A falta de simetría esta pregunta no puede ser respondida de forma puramente matemática. Necesitamos algo de física: Cuando el dado es lanzado contra la superficie de la mesa, rebota y gira irregularmente hasta que se detiene en uno de los muchos estados de equilibrio. La distribución de probabilidad que rige este estado final puede verse como la siguiente estadística de Boltzmann para que el dado aterrice en la cara $j$ con probabilidad $$p_j \sim e^{-E_j/kT}.$$ Aquí $E_j$ es la energía potencial del estado $j$ que es proporcional a la altura del centro de gravedad sobre la mesa, $k$ es la constante de Boltzmann y $T$ la temperatura. La única manera de hacer que todas las probabilidades sean iguales es asegurarse de que la energía potencial es la misma para todas las caras (o para una solución aproximada hacer que la habitación sea realmente caliente).

Si el prisma tiene altura $h$ y la longitud de los lados $a$ (y es homogéneo, por supuesto), entonces el centro de gravedad está o bien a la altura $ \frac h2$ o $ \frac a{ \sqrt 3}$ . Por lo tanto, necesitas $a= \frac {h \sqrt3 } 2$ .

Nótese que la suposición sobre la aplicabilidad de Boltzmann puede no estar justificada si el dado no rebota mucho - supongo que en ese caso la posición final está mayormente gobernada por el tamaño de su "cuenca de atracción", esencialmente el ángulo espacial cubierto por cada cara ... Le sugiero que saque su sierra de marquetería y haga una largo una serie de experimentos para verificar si tal 5-morir es justo.

Answer 2

Si sólo quieres un dado que tenga cinco números que se produzcan con igual probabilidad, podrías tener un prisma pentagonal que tienes que tirar (con las caras de los extremos sin marcar), o podrías tener un icosaedro regular con cada uno de los cinco números repetidos cuatro veces en las caras, que podría ser lanzado de la manera habitual.

Para un prisma triangular en el que incluimos las caras de los extremos, presumiblemente la cara triangular sería equilátera, y la longitud tendría que ser alcanzada por medio de un experimento. No se podría asumir, por ejemplo, que las caras cuadradas harían que el dado fuera justo, o incluso que sería justo si las áreas de las caras rectangulares fueran iguales al área de las caras triangulares.

Sin embargo, es razonable suponer que debe existir una proporción de las caras rectangulares que haga que el dado sea justo.