Series infinitas: $\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{i=1}^n\frac{(3i-1)}{(4i-3)} $

Question

¿Cómo evaluar esto? $$\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{i=1}^n\frac{(3i-1)}{(4i-3)} $$

Answer 1

Puede sumar esto en términos de función hipergeométrica. Aquí es el resultado de arce

$$ 2\,{ _2F_1\left( 1, \frac{5}{3}; \,\frac{5}{4};\,\frac{3}{4}\right)}. $$

Answer 2

Nope no divergen el límite es de $2 \cdot \text{Hypergeometric2F1}[1,\frac{5}{3},\frac{5}{4},\frac{3}{4}]$ (según Mathematica) la interpreto como $ \sum_{n=1}^\infty \prod_{i=1}^n \frac{3i-1}{4i-3}$

Answer 3

Una respuesta es $ 3^{-1/4}2^{7/3}B\left(\frac{1}{4},\frac{17}{12},\frac{3}{4}\right) \approx 13.2047328961513303884487902215 $$ donde hemos utilizado la función Beta incompleta $$ B(\nu,\mu,x): = \int_0^x t ^ {\nu-1}(1-t) ^ \;dt {\mu-1} $$

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Tomé la hipergeométrica y busqué una mesa
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