$\mathbb Z\times\mathbb Z$ es principal pero no es un PID

Question

Necesito encontrar un ejemplo de un anillo que no es un PID, pero todo ideal es principal. Sé que $\mathbb Z\times\mathbb Z$ no es una integral de dominio, así que sin duda no es un PID, pero aquí todo ideal es principal. Ya he probado que si R y S son cada anillo ideal en R x S I x J con ideales en el original anillo. Pero no puedo seguir a partir de que $\mathbb Z\times\mathbb Z$ tiene sólo a los principales ideales.

Explícitamente, si $I$ es un ideal de a $(a)\times(b)$ que sería su generador de $(c,d)$$\mathbb Z\times\mathbb Z$?

Gracias.

Answer 1

Supongo que $\def\ZZ{\mathbb Z}I\subseteq\ZZ\times\ZZ$ es un ideal.

Si $(x,y)\in I$, entonces % también son $(x,0)=(1,0)(x,y)$y $(0,y)=(0,1)(x,y)$ $I$. Si escribimos $I_1=\{x\in\ZZ:(x,0)\in I\}$ y $I_2=\{y\in\ZZ:(0,y)\in I\}$. entonces sigue fácilmente de esto que $I=I_1\times I_2$. Ahora $I_1$ y $I_2$ son ideales de $\ZZ$, de modo que hay $a$, $b\in\ZZ$ tal que el $I_1=(a)$ y $I_2=(b)$ y $I$ es generado por $(a,b)$.

Answer 2

Vamos a probar que todo ideal de a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es de capital, como corolario de una más general de la proposición.

Lema Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Deje $I$ a ser un ideal de a $A$. Supongamos $A/I$ es Noetherian y de todos los ideales contenidos en $I$ es finitely generado. A continuación, $A$ es Noetherian.

Prueba: Deje $J$ a ser un ideal de a $A$. Deje $x_1,\cdots,x_n$ ser generadores de $I \cap J$. Deje $\psi\colon A \rightarrow A/I$ ser la canónica homomorphism. Desde $A/I$ es Noetherian, $\psi(J)$ es finitely generado. Deje $\psi(y_1),\cdots, \psi(y_m)$ ser generadores de $\psi(J)$, donde $y_1,\cdots,y_m \in J$. Basta probar que $x_1,\cdots,x_n, y_1,\cdots,y_m$ generar $J$. Deje $x \in J$. Existen $b_1,\cdots,b_m \in A$ tal que $\psi(x) = \sum_j \psi(b_j)\psi(y_j)$. Desde $\psi(x - \sum_j b_jy_j) = 0, x - \sum_j b_jy_j \in I \cap J$. Por lo tanto, no existe $a_1, \cdots, a_n \in A$ tal que $x - \sum_j b_jy_j = \sum_i a_ix_i$. Por lo tanto $x = \sum_i a_ix_i + \sum_j b_jy_j$ como se desee. QED

Corolario Deje $A, B$ ser Noetherian anillos. A continuación, $A\times B$ es también Noetherian.

Prueba: Deje $\psi\colon A\times B \rightarrow B$ ser la proyección. Deje $I$ ser el núcleo de $\psi$. Es fácil ver que $\psi$ $I$ cumplir con las condiciones del lema. QED

Definición Un anillo conmutativo es llamado un director ideal anillo si todo ideal es principal.

La proposición Deje $A, B$ ser director ideal anillos. A continuación, $A\times B$ es también un director ideal del anillo.

Prueba: Deje $I$ a ser un ideal de a $A\times B$. Por el corolario del lema, $I$ es finitely generado. Deje $(a_1,b_1),\cdots,(a_n,b_n)$ ser generadores de $I$. Desde $A$ es uno de los principales ideales del anillo, existe $c \in A$ tal que $cA$ es el ideal generado por a $a_1\cdots, a_n$. Del mismo modo existe $d \in B$ tal que $dB$ es el ideal generado por a $b_1\cdots, b_n$. Ya que cada elemento de a $I$ es de la forma $\sum_i (x_i, y_i)(a_i, b_i) = (\sum_i x_ia_i, \sum_i y_ib_i)$, $I$ es generado por $(c, d)$. QED

Corolario Todos los ideales de a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es la directora.

Answer 3

Observar que cada ideal en $R= \Bbb Z/n\Bbb Z$ es principal pero, $n$ no privilegiada, $R$ tiene cero divisores, por lo que no es un PID.