Prueba geométrica del producto triple vectorial Identidad Jacobi

Question

Creo que la identidad del vector
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$
se llama la identidad Jacobi y conozco la prueba.

¿Alguien conoce algún cuadro geométrico elegante para ilustrar por qué la identidad es verdadera?

Answer 1

Aquí hay una prueba abstracta sin sentido:

El vector $$\vec T(\vec{a},\vec{b},\vec{c}):=\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$$ se ve fácilmente que es una función trilínea sesgada de las tres variables vectoriales $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ . De ello se deduce que sus coordenadas $T_i$ son tres funciones de este tipo con valor real, de las cuales son múltiplos de la función determinante (el llamado producto de triple vector) $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$ con factores $\lambda_i$ independiente de $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ . Poniendo $\vec{p}:=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ Por lo tanto, tenemos $$\vec T(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\>\vec{p}$$ con un vector universal $\vec{p}$ . Esto sólo tiene sentido cuando $\vec{p}=\vec{0}$ .

Answer 2

Este intento de respuesta es geométrico en el sentido de que se expresa en términos de vectores y no de componentes.

Geométricamente el producto de la doble cruz está dado por $$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}- (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}.$$ Esto muestra tres cosas:

1. $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}- (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ cae en el avión atravesado por $\vec{b}$ y $\vec{c}$
2. $\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{c}- (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ cae en el avión atravesado por $\vec{c}$ y $\vec{a}$
3. $\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}$ cae en el avión atravesado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Añade estas relaciones a los términos de la $\vec{a},\vec{b}$ y $\vec{c}$ las direcciones se cancelan, revelando así la identidad jacobina.

Podríamos visualizarlos en términos de tres planos que se intersectan a lo largo de las direcciones $\vec{a},\vec{b}, \vec{c}$ . Lo ilustro como si fueran ortogonales para que la imagen sea manejable. La idea aquí es que la longitud de las flechas naranja, púrpura y cian son indicativas de los puntos que aparecen en los vanos.