He aquí un pequeño y divertido problema:
Demostrar que la secuencia $$10001, 100010001, 1000100010001, \cdots$$ no contiene números primos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La secuencia $a$ para que se demuestre que todo está compuesto es $(10001, 100010001, 1000100010001,\ldots)$
Mediante una inspección, $a(1) = 10001 = 11025 - 1024 = 105^2 - 32^2 = (105 + 32) * (105 - 32)$ y así $a(1)$ es compuesto. Resulta que los dos factores encontrados arriba son primos, aunque eso no es relevante.
Y eso fue lo más difícil. Además, establece el tema (la diferencia de dos cuadrados es el producto de la suma y la diferencia de los números subyacentes) empleado a lo largo de la prueba.
Sin embargo, todavía nos deja con una infinidad de términos de la secuencia para demostrar que son compuestos. Pero esa es la parte fácil, como verás.
Observe que $(10000 + 1) * (10000 - 1) = 10000^2 - 1^2 = 99999999 = 10^8 - 1$ .
Por lo tanto, si el $n$ -El término número uno de la secuencia es $a(n)$ , donde $n$ es un número natural, tenemos:
$$9999 * a(n) = 10^{4n + 4} - 1\tag 1$$
Compruebe que cuando $n = 1$ el R.H.S. de $(1)$ es igual a $10^8 - 1$ cuando $n = 2$ es $10^{12} - 1$ etc., es decir, en cada caso es $(10000 - 1)$ veces el término correspondiente de la secuencia. Esto se deduce de la conocida fórmula de la suma de una serie geométrica.
Ahora $n$ es par o impar; consideraremos cada caso por separado.
CASO "E": $n$ es incluso $$ 10^{4n + 4} - 1 = (10^{2n + 2} + 1) * (10^{2n + 2} - 1) $$ y $9999 = 10^4 - 1 = (10^2 + 1) * (10^2 - 1) = 101 * 99$
Así que $a(n) = [(10^{2n + 2} + 1) / 101] * [(10^{2n + 2} - 1) / 99]$
Considere a su vez el contenido de cada par de corchetes.
$101$ siempre divide $(10^{2n + 2} + 1)$ exactamente.
Vemos si $n = 2$ el cociente es $9901$ , si $n = 4$ , $99009901$ etc. El patrón es:
-
$9901 = 1 - 100 + 10000 = \sum_{k=0}^2(-100)^k$
-
$99009901 = 1 - 100 + 10000 - 1000000 + 100000000 = \sum_{k=0}^4(-100)^k$
etc.
$99$ siempre divide $(10^{2n + 2} - 1)$ exactamente, ya que ese número comprende una cadena de un número par de $9$ s.
Vemos si $n = 2$ el cociente es $10101$ , si $n = 4$ es $101010101$ etc. El patrón es obvio.
Así, cada par de corchetes contiene un número natural mayor que $1$ .
Así, cuando $n$ está en paz, $a(n)$ es siempre el producto de dos números naturales, cada uno de los cuales es mayor que $1$ es decir, $a(n)$ es compuesto.
CASO "O": $n$ es impar. Podemos escribir $n = 2m + 1$ donde $m>0$ (no necesitamos atender a $n = 1$ ya que hemos demostrado que a(1) es compuesto).
$$10^{4n + 4} - 1 = 10^{8m + 8} – 1 = (10^{4m + 4} + 1) * (10^{4m + 4} - 1)$$
Así que $a(n) = (10^{4m + 4} + 1) * [(10^{4m + 4} - 1) / 9999]$
$9999$ siempre divide $(10^{4m + 4} - 1)$ exactamente, ya que ese número comprende una cadena de $9$ s que es un múltiplo de $4$ de longitud.
Vemos si $m = 1$ el cociente es $10001$ , si $m = 2$ es $100010001$ etc. El patrón es obvio.
Así, cuando $n$ es impar, $a(n)$ es siempre el producto de dos números naturales, cada uno de los cuales es mayor que $1$ es decir, $a(n)$ es compuesto.
Por lo tanto, independientemente de si $n$ es par o impar, $a(n)$ es compuesto. Q.E.D.
