Ley de reciprocidad cuadrática

Question

Me han preguntado a ver si $x^2\equiv83$ $(\mathrm {mod} \ 101^{2000})$ tiene soluciones. Ahora sé $x^2\equiv(\mathrm{mod} \ 101)$ no tiene soluciones desde la cuadrática reside símbolo $(\frac{83}{101})=-1$ usando la ley de reciprocidad cuadrática. Así por el Teorema chino del resto, no ¿significa esto que la congruencia anterior tiene soluciones?

¿Del mismo modo hace $x^2\equiv83$ $(\mathrm {mod} \ 29^{2000})$ tienen soluciones desde $(\frac{83}{29})=1$?

Answer 1

El teorema del resto Chino afirma que si $m,n$ son coprime enteros, entonces la congruencia $$y \equiv a \pmod m\\ y\equiv b \pmod n$$ tiene una única solución mod $mn$. Puesto que usted no tiene la coprimality condición, no se puede citar el teorema del resto Chino.

Sin embargo, el recíproco del teorema del resto Chino es cierto incluso si $m,n$ no coprime: para cualesquiera enteros $m,n$ $$y\equiv a \pmod {mn} \implies \begin{split}y\equiv a \pmod n\\ y\equiv a \pmod m\end{split}$$ Usted puede usar esto para la primera parte.

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Para la segunda parte, usted tiene que ser más cuidadoso. Por ejemplo, $x^2\equiv -1 \pmod 2$ tiene soluciones, pero $x^2\equiv -1\pmod 4$ no. (De hecho esta es una demostración de por qué se necesita el coprimality condición para utilizar el teorema del resto Chino).

Para la segunda parte, usted puede utilizar Hensel del lema para mostrar que existe una solución.

Answer 2

Para el primero de ellos, sí. Si $x^2 \equiv 83 \mod 101^{2000}$, entonces el $x^2=101^{2000}k+83=101l+83$, así $x^2 \equiv 83 \mod 101$. Pero este último no hay soluciones, por lo que el primero no tiene soluciones.

Para la segunda, no, no no necesariamente.