Esto no es una respuesta muy general, pero es un práctico y significativo. Usted puede leer fuera de la dimensión típica de un azar de la representación, por la longitud del gancho de la fórmula. Por supuesto que no es tan simple como, oh, aquí hay una fórmula, porque usted tiene que comprobar si la fórmula es estable. Sin embargo, el gancho-longitud de la fórmula es un factorial dividido por el producto de las longitudes de gancho. Así que usted puede comprobar que el logaritmo de la fórmula es, de hecho, estadísticamente estable. Hasta la normalización, se limita a un buen comportamiento integral sobre la Kerov-Vershik forma.
La dimensión de un grupo de representación es, por supuesto,$\chi(1)$, el rastro de la identidad. Dado el buen comportamiento de esta estadística en un azar de la representación, es natural preguntarse sobre el valor típico de $\chi(\sigma)$ por algún otro tipo de permutación $\sigma$. Dos problemas surgen. En primer lugar, $\sigma$ no es realmente un tipo de permutación, sino natural infinita secuencia de permutaciones. Segundo, la Murnaghan-Nakayama fórmula para $\chi(\sigma)$, y probablemente cualquier plenamente regla general, no es estadísticamente estable. El Murnaghan-Nakayama regla recursiva alternando suma; con el fin de aplicarlo a un gran Plancherel-aleatorio de la representación que usted tendría que saber mucho acerca de las estadísticas locales de tableau, y no sólo su forma. Por ejemplo, supongamos que $\sigma$ es una transposición. A continuación, el MN regla dice que tome una determinada alternando suma más de rim dominos de tableau $\lambda$. (El signo es positivo para la horizontal dominó y negativo para la vertical de dominos.) Sospecho que hay un valor típico para $\chi(\sigma)$ al $\sigma$ es una transposición, o, probablemente, cualquier permutación de tipo fijo que es local en el sentido de que una transposición es local. Pero esto sería el uso de un elaborado el refinamiento de la Kerov-Vershik teorema, de forma análoga a los locales teorema del límite central aumentada por un local de operador diferencia, y no sólo el original Kerov-Vershik.
Sin embargo, me hizo encontrar otro límite de caracteres en este espíritu que se comporta mejor. Fomin y Lulov establecido un producto fórmula para el número de $r$rim gancho de cuadros, que también es $\chi(\sigma)$ al $\sigma$ es un "free" permutación que consiste enteramente de $r$-ciclos (y no hay puntos fijos o ciclo de longitudes que son factores de $r$). Esto incluye el importante caso de punto fijo-libre de involuciones. Si $\sigma$ actúa en $mr$ letras, luego de que, según ellos, el número de estos es
$$\chi_\lambda(\sigma) = \frac{m!}{\prod_{r|h(t)} (h(t)/r)},$$
donde $h(t)$ es la longitud del gancho el gancho en alguna posición $t$ en la forma $\lambda$.
Felizmente, esto es sólo una fórmula de producto y no una alternancia de suma o incluso una suma positiva. Para aproximar el logaritmo de este personaje con un integrante, usted sólo necesita una leve refinamiento de Kerov-Vershik, uno que dice que la longitud del gancho $h(t)$ de una posición típica $t$ es uniformemente al azar modulo $r$. (Y esto es una buena asintótica argumento al $r$ es fijo o sólo crece lentamente.)
Corrección: JSE ya pensó en la primera parte de mi respuesta, que me dijo en un exceso de confianza. La estimación de $\log \chi(1)$ (y en los otros casos, por supuesto) es una integral impropia, supongo, para que no se siga sólo a partir de la declaración de Kerov-Vershik que la integral da una estimación precisa de la forma
$$\log \chi(1) = C\sqrt{n}(1+o(1)).$$
Sin embargo, parece que estos temas han sido arrastrados por la tarde, las versiones más fuertes de la original Kerov-Vershik resultado. El arXiv papel Kerov del teorema central del límite para la Plancherel medida en los Jóvenes diagramas establece no sólo un típico límite para la dimensión (y otros valores de carácter), pero también un teorema del límite central.
