¿Puedo aplicar la regla de L'Hospital dentro de la función del logaritmo natural?

Question

Tengo el siguiente límite:

$$\lim_{x\rightarrow \infty} \ln\left(\frac{2x^2+1}{x^2+1}\right)$$

Si estuviera encontrando el límite de sólo los términos dentro de la función logarítmica natural, tendría la forma indeterminada: $$\frac{\infty}{\infty}$$

Quiero saber si puedo aplicar la Regla de L'Hospital sólo a los términos interiores ignorando la función del logaritmo natural, dándome la respuesta: $$\ln\left(\frac{4x}{2x}\right)=\ln(2)$$

Answer 1

Para una función continua $f$ en $a\in\overline{\Bbb R}$ tenemos $$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$$

Answer 2

Sí, porque $$\lim_{x\to\infty}f(g(x))=f(\lim_{x\to\infty}g(x))$$

Pero la de L'Hospital no es necesaria para este caso ya que se puede simplemente factorizar un $x^2$ del numerador y el denominador: $$\lim_{x\rightarrow \infty} \ln\left(\frac{2x^2+1}{x^2+1}\right)=\lim_{x\rightarrow \infty} \ln\left(\frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}\right)$$

Answer 3

Sí se puede, porque la función logaritmo es continua.

Observación: Realmente no se necesita la regla de L'Hospital para encontrar el límite de $\frac{2x^2+1}{x^2+1}$ . Más concretamente, dividir la parte superior e inferior por $x^2$ .

Answer 4

De hecho, tenemos la siguiente proposición:

Si $\lim_{x\to\infty}f(x)=a$ y $a>0$ entonces $\lim_{x\to\infty}\ln f(x)=\ln a$ .

Ahora, $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{2x}=2>0$ . Así que

$$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\frac{2x^2+1}{x^2+1}\right)=\ln\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+1}{x^2+1}\right)=\ln2.$$

Answer 5

Si dices que $$ \lim_{x\rightarrow \infty} \ln\left(\frac{2x^2+1}{x^2+1}\right) = \ln\left( \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+1} \right), $$ que no es la regla de L'Hopital. Es la continuidad de la función logarítmica. Puedes aplicar la regla de L'Hopital después de eso. Pero la regla de L'Hopital es exagerada en este caso, ya que el límite se puede encontrar fácilmente con métodos menos potentes.