Por un complejo grupo algebraico reductivo me refiero al grupo de puntos complejos de un grupo algebraico afín (posiblemente desconectado) definido en $\mathbb{C}$ cuyo radical Unipotencial (subgrupo normal Unipotencial conectado máxima) es trivial.
Parece que no puedo encontrar una fuente clara para lo siguiente que creo que es cierto:
Un complejo conjunto algebraico es reductivo si y sólo si es la complejidad de un grupo de mentira compacto.
Este resultado es cierto y no es fácil. Usted puede encontrar este resultado y declaró una prueba de "complejización de grupo compacto implica reductiva" en el capítulo 5 de estas notas.
No sé una prueba de lo contrario, que ya no establecer una parte sustancial de la clasificación de la reductora grupos. En el caso de que $G$ es sin centro y simple, usted puede ver una prueba de como Lema 2 aquí.
Una señal de que es difícil es que usted necesita para utilizar la hipótesis de que su grupo complejo es un algebraicas lineales grupo. Por ejemplo, supongamos $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{C}$. A continuación, $E$ es un objeto de grupo en la categoría de $\mathbb{C}$ variedades que no es la complejización de cualquier grupo compacto. En efecto, si el $j$-invariante de $E$ no es real, entonces $E$ no tiene ningún anti-holomorphic de involuciones.
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