La prueba de la Existencia de Algebraica de Cierre: Demasiado sencillo para ser verdad?

Question

Después de haber leído a los clásicos de la prueba de la existencia de una expresión Algebraica Cierre (originalmente debido a Artin), me preguntaba lo que está mal con la siguiente simplificación (debe ser malo, de lo contrario, ¿por qué nos tomamos la molestia con el extra de complicaciones en Artin la prueba?):

Teorema: Vamos a $K$ ser un campo y, a continuación, $K$ tiene una clausura algebraica $\bar{K}$ (i.e algebraica de extensión que es algebraicamente cerrado).

La "prueba": Definir $A=\{ F \supset K | F \text{ is an algebraic extension of } K\}$ y heredar este con el habitual orden parcial de la inclusión. Uno puede comprobar que el lema de Zorn se aplica (la unión de un anidada de la cadena de extensiones algebraicas es en sí mismo algebraicas). Por lo tanto, $\overline{K}$ a ser un elemento maximal. Debe ser algebraicamente cerrado de lo contrario, no es un polinomio irreducible con raíz en algún estrictamente más grande de campo. $\blacksquare$

Ahora, aquí está lo que sospecho que es falso acerca de esta prueba: La definición de $A$ huele a su juego habitual de la teoría de las paradojas como la paradoja de Russell. De hecho, uno podría utilizar la misma técnica para demostrar que existe una "mayor conjunto" por supuesto que no. Sin embargo, estoy bajo la impresión de que "la mayoría" de trabajo de los matemáticos ignorar la teoría de conjuntos fundaciones y simplemente "hacer" matemáticas, por lo que hay una manera segura de hacer esto (he.e: ¿"concreto matemáticas diarias", evitando que la teoría de conjuntos) sin quemarse?

Answer 1

Estás en lo correcto. $A$ es una clase adecuada. La razón es simple, considerando todos los posibles campos que son extensiones algebraicas de inmediato nos tienen una buena clase de conjuntos.

Sin embargo, uno puede observar fácilmente que si $F$ es un campo, entonces no es un mapa de $F[x]$ en cualquier algebraica de extensión, por lo tanto, es suficiente con considerar extensiones algebraicas cuyo conjunto subyacente es una partición de a $F[x]$.

En cualquier caso, uno puede mostrar que, a pesar del hecho de que $A$ es una clase adecuada, es "localmente un conjunto", en el sentido de que debajo de cada campo hay sólo se ponen en muchos campos; y que cada cadena tiene un tamaño de no más de $|F|+\aleph_0$.

Answer 2

De hecho, hay una ligeramente goosed versión (por Jelonek) que evita que el conjunto teórico de los problemas. Postes de saber a partir de la teoría de conjuntos...

Answer 3

Esta es la primera prueba me enteré de la existencia de algebraica de los cierres, de Fraleigh del libro con una edición de mediados-finales de los 80). Como nota, tienes que ser un poco cuidadoso con el conjunto de la teoría de temas, pero que no es tan grave.

Answer 4

Las otras respuestas rescatar a su citado prueba de la existencia de clausura algebraica mediante la observación de que hay un explícito vinculado puede colocar en la cardinalidad de la clausura algebraica. Aquí es una alternativa prueba de que los pasos que el conjunto teórico asunto:

Deje $S$ ser el conjunto de todos los irreducibles de polinomios con coeficientes en $K$, y vamos a $$R := K\left[\{x_\alpha\}_{\alpha \in S}\right]/\left(\{f(x_\alpha)\}_{\alpha \in S}\right).$$ Then $R$ has a maximal ideal, so we can define $F := R/\mathfrak m$ for $\mathfrak m$ such a maximal ideal, which makes $F$ into an algebraic extension of $K$ in which every polynomial in $S$ tiene una raíz.

En este punto, es cierto que $F$ es algebraicamente cerrado, pero no es fácil de demostrar. Usted puede evitar esta pieza más de la maquinaria simplemente la definición de $F_1$ a a ser el campo obtenida anteriormente, y de forma iterativa, la definición de $F_2, F_3, \ldots$ por el mismo procedimiento. A priori, cada una de las $f \in S$ puede ser fácilmente demostrado dividir en $F_i$$i \ge \deg f$, y por lo $F := \displaystyle\bigcup_i F_i$ algebraica de cierre para $K$.

Answer 5

Para responder a tu otra pregunta, de "cómo hacer hormigón matemáticas diarias, evitando la teoría de conjuntos, sin quemarse":

En NBG la teoría de conjuntos, una clase (donde la "clase" significa "colección de conjuntos") es un grupo si y sólo si es "pequeño"-es decir, estrictamente menor que el de la clase de todos los conjuntos. Además, cada teorema de NBG que no usa la palabra "clase" es un teorema de ZFC.

Así que, aquí es cómo evitar quemarse. Creo que de ninguna clase. (Una clase puede ser definida por un predicado que solo habla de conjuntos, no clases). Si usted puede demostrar que su clase es pequeña, lo que significa que es un conjunto. Si usted asegúrese de que todos sus juegos son creados de esta manera, se termina con un teorema de ZFC.

¿Cómo sabe usted que su clase es pequeña? Estos axiomas debe hacer el truco:

• La clase de todos los números enteros es pequeño.
• Dado que cualquier pequeña clase, la clase de todas sus subclases es una clase pequeña.
• Dado cualquier clase pequeña, la unión de sus elementos es una clase pequeña.

La intuición debe darle todo lo que necesita.