¿Es la serie de Neumann un operador compacto?

Question

Deje $X$ ser un infinito dimensional espacio de Banach y $A:X\to X$ ser una compacta de operador con el operador de la norma $\|A\|<1$. A continuación, $I-A$ es invertible y el de la serie de Neumann $$S_N = \sum_{k=0}^N^k$$ converge en el operador de la norma a $(I-A)^{-1}$: $$\|S_N-(I-A)^{-1}\| \0, \ \text{ como } \ N\to \infty$$ Ahora creo que todos los $S_N$ son compactos operadores de ahí el límite de $(I-A)^{-1}$ es también compacto. Sin embargo este no es el caso, porque entonces $$I=(I-A)(I-A)^{-1}$$ sería compacta, que no es posible para la dimensión infinita $X$. Lo que está mal en mi argumento?

Answer 1

Como señala Daniel Fischer, es cierto que para cada $n\geqslant 1$, $A^n$ es compacto por lo tanto así es $\sum_{n=1}^NA^n$. Puesto que una norma límite de operadores compactos es compacto y $\sum_{n=1}^\infty\lVert A^n\rVert$ es convergente, obtenemos que el $\color{red}{A}(I-A)^{-1}$ es compacto.

Pero $(I-A)^{-1}$ no es compacto, así que serían $A(I-A)^{-1}-(I-A)^{-1}=-I$.