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Question

Que $f(x) = e^{-a |x|}, a > 0$. Mostrar que $$ \frac{\cosh(a( \pi -x))}{\sinh(a \pi)} = \frac{1}{a \pi} + \frac{2}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a}{a^2+n^2}\cos(nx). $$ for $ 0 \leq x \leq \pi$.

Así que la idea es utilizar Poisson suma fórmula $$\sum_{n = - \infty}^{\infty} f(x+n) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \widehat{f}(x) e^{2 \pi i n x}.$ $

He podido ver que %#% $ #%

sin embargo, para mostrar que $$\sum_{n = - \infty}^{\infty} \widehat{f}(x) e^{2 \pi i n x} = \frac{1}{a \pi} + \frac{2}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a}{a^2+n^2}\cos(nx),$ $ me parece más complicado.

$$\sum_{n = - \infty}^{\infty} f(x+n) = \frac{\cosh(a( \pi -x))}{\sinh(a \pi)}$ $ Ahora me gustaría dividir la suma en dos partes, pero desde $$\sum_{n = - \infty}^{\infty} f(x+n) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{a |x+n|} $, considero $ 0 \leq x \leq \pi$ para $f(\frac{x}{\pi} + n)$$ ahora sustituir posterior $$\sum_{n = - \infty}^{\infty} f(\frac{x}{\pi}+n) = \sum_{n = 0}^{\infty}e^{-a(\frac{x}{\pi} + n)} + \sum_{n = 1}^{\infty}e^{a(\frac{x}{\pi} - n)} = \frac{\cosh(a( \frac{\pi}{2} -\frac{x}{\pi}))}{\sinh(\frac{a \pi}{2})}$ me da %#% $ #%

¿puede alguien ver lo que estoy haciendo mal?

Gracias

Answer 1

Me las arreglé para mostrar que $\displaystyle \sum_{n = - \infty}^{\infty} \widehat{f}(x) e^{2 \pi i n x} = \frac{1}{a \pi} + \frac{2}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a}{a^2+n^2}\cos(nx)$

En primer lugar, usted desea $\widehat{f}(n)$ en lugar de $\widehat{f}(x)$ a la izquierda. Lo que es más importante, la fórmula no puede ser correcta porque los dos lados tienen diferentes períodos: $1$ a la izquierda, $2\pi$ a la derecha.

Usted debe ajustar la escala de la distribución de Poisson fórmula: suma de $\exp(-a|x|)$ $2\pi$- turnos en lugar de integer turnos. De hecho, $$\frac{\cosh(a(\pi-x))}{\sinh (\pi a)} = \sum_{n\in\mathbb Z} \exp(-a|x+2\pi n|), \quad 0\le x\le \pi \tag1$$ porque multiplicando ambos lados por $\sinh (\pi a)=\frac12(e^{\pi a}-e^{-\pi a})$ hace que la suma sobre el derecho al telescopio. Es decir, $$(e^{\pi a}-e^{-\pi a})\sum_{n=0}^\infty \exp(-a(x+2\pi n))=\exp(-ax+ a\pi ) \tag2$$ y $$(e^{\pi a}-e^{-\pi a})\sum_{n=-\infty}^{-1} \exp(a(x+2\pi n))=-\exp(ax-a\pi) \tag3$$ (El único superviviente de los términos en el límite de la suma).