Estoy trabajando a través de Kunen del famoso libro sobre la teoría de conjuntos y estoy perplejo por el ejercicio 19 del capítulo VI.
Fondo para el ejercicio:
En el capítulo V (Definición 1.1) el autor define determinados en función de dos variables $Df(A,n)$. Este es el set de $n$-lugar de relaciones en $A$ que son definibles por una fórmula con $n$ libre de las variables relativizada a $A$. La definición de $Df(A,n)$, primero se define recursivamente conjuntos de $Df'(k,A,n),k \in \omega$ y, a continuación, establece $Df(A,n) = \bigcup_{k \in \omega} Df'(k,A,n)$.
Entonces él demuestra Lema V 1.3 que dice que si $\phi(x_0,...,x_{n-1})$ es cualquier fórmula y $A$ es cualquier conjunto, a continuación, el conjunto de $\{ s \in A^n : \phi^A(s(0),...,s(n-1)) \}$ está en $Df(A,n)$ ($\phi^A$ significa $\phi$ relativizada a $A$).
En el próximo capítulo VI (Definición 1.1) el autor define la definibles por el juego de poder de un conjunto $A$ o $\mathcal{D}(A)$. Este es el conjunto de subconjuntos de a, que son definibles a partir de un número finito de elementos de $A$ por una fórmula relativizada a $A$. A continuación, en el Lema VI 1.3(c) la prueba de que los subconjuntos finitos de $A$$\mathcal{D}(A)$.
Ejercicio VI 19:
El ejercicio pide a definir alternativas a$Df$$\mathcal{D}$, es decir, tal $Df^*$ $\mathcal{D}^*$ que $Df^*$ todavía satisface el Lema V 1.3 pero Lexema VI 1.3(c) no es demostrable en ZFC. Él también da una pista:
En primer lugar, defina $\alpha = \omega$ si CON(ZF) y alfa = el menos número de Gödel de una contradicción si no-CON(ZF) (qué quiere decir el menor número de Gödel de una prueba de una contradicción?). A continuación, defina $Df^*(A,n) = \bigcup_{k < \alpha} Df'(k,A,n)$.
Creo que podría entender la idea. Suponemos que Lexema VI 1.3(c) es demostrable. Entonces de alguna manera nos muestran que no es posible que $\alpha \in \omega$, por lo que debe ser ese $\alpha = \omega$. Pero luego hemos demostrado CON(ZF) que no es posible por Gödel 2da.
Mis preguntas:
Primero yo no puedo ver cómo Lema V 1.3 pasa a través de con $Df^*$. Por ejemplo, la prueba utiliza el hecho de que $Df(A,n)$ es cerrado bajo intersecciones finitas. Esto es fácil de ver desde la definición de la $Df$, pero ¿qué pasa si no-CON(ZF) y alfa es una forma natural y sólo un número finito de $Df'$ son tomados en $Df^*$. No esta destruir la intersección finita de la propiedad?
En más detalles, esto es lo que traté de hacer. El caso de 'conjunto' de la inducción sobre la estructura de la fórmula. Asumimos $\phi = \phi_1 \wedge \phi_2$ y
$ZFC \vdash \forall A [ \{ s \in A^n : \phi_1^A(s(0),\ldots,s(n-1)) \} \in Df^*(A,n) ]$ y $ZFC \vdash \forall A [ \{ s \in A^n : \phi_2^A(s(0),\ldots,s(n-1)) \} \in Df^*(A,n) ]$.
A continuación, tenemos que demostrar que
$ZFC \vdash \forall A [ \{ s \in A^n : \phi_1^A(s(0),\ldots,s(n-1)) \wedge \phi_2^A(s(0),\ldots,s(n-1))\} \in Df^*(A,n) ]$
o lo que es lo mismo
$ZFC \vdash \forall A [ \{ s \in A^n : \phi_1^A(s(0),\ldots,s(n-1)) \} \cap \{ s \in A^n : \phi_2^A(s(0),\ldots,s(n-1))\} \in Df^*(A,n) ]$.
Para probar esto: el trabajo dentro de la teoría formal, vamos a $A$ ser un conjunto, $A_1 = \{ s \in A^n : \phi_1^A(s(0),\ldots,s(n-1)) \}$$A_2 = \{ s \in A^n : \phi_2^A(s(0),\ldots,s(n-1)) \}$. Desde $A_1, A_2 \in Df^*(A,n)$ hay $k_1,k_2 < \alpha$ tal que $A_1 \in Df'(k_1,A,n)$$A_2 \in Df'(k_2,A,n)$. Si dejamos $k = \max \{k_1,k_2\}$ $A_1 \cap A_2 \in Df'(k+1,A,n)$ por la definición de los conjuntos de $Df'$. Ahora, en el caso de $Df$ no hay problemas de deducir que $A_1 \cap A_2 \in Df(A,n)$, pero en el caso de $Df^*$ ¿qué podemos hacer si sucede que $k+1 = \alpha$? Yo no puedo ver cómo este tipo de situación se puede prevenir.
También, incluso si de alguna manera nos puede resultar Lema V 1.3$Df^*$, ¿por qué seguir a partir de provability de Lema VI 1.3(c) (= subconjuntos finitos de $A$$\mathcal{D}^*(A)$$\alpha \notin \omega$?
