Una pregunta sobre la definición de un vecindario en topología

Question

Sea $X$ un espacio topológico, y $x \in X$ un punto. Hay dos convenciones predominantes sobre cómo definir un vecindario de $x:

Definiciones Alternativas (Vecindario):

1) Un vecindario de $x$ es cualquier subconjunto abierto $W \subset X$ tal que $x \in W.
(Esta convención se usa en el libro de Munkres por ejemplo.)

2) Un vecindario de $x$ es un subconjunto $W \subset X$ tal que existe un conjunto abierto $A$ tal que $x \in A \subset W.
(Por ejemplo, esta es la definición en "General Topology" de Bourbaki o Willard)

Así, todo vecindario en el sentido de (1) es un vecindario en el sentido de (2), pero no al revés.

A menudo es necesario demostrar que un vecindario de un punto $x$ en el sentido de (2) es en realidad abierto, y a menudo esta es una verificación no trivial desde el contexto dado. Un ejemplo que se me ocurre ahora (y este ejemplo fue una motivación para hacer esta pregunta) es el siguiente:

Sea $G$ un grupo abeliano topológico, y $H$ un subgrupo de $G$ que también es un vecindario de $0 \in G$ en el sentido de 2). Entonces se puede demostrar que $H$ es de hecho un conjunto abierto.

[El truco es observar que para un $g \in G$, el mapa $\phi_{g} :G \rightarrow G$ dado por $x \in G, \phi_{g}(x) = g + x$ es un homeomorfismo, y por lo tanto cualquier vecindario de un punto $g \in G$ es de la forma $g + U$, donde $U$ es un vecindario de $0$. Así, para un $h \in H$, $h + H$ es un vecindario de $h$, y además, $h + H \subset H$ porque $H$ es un subgrupo.]

La prueba anterior muestra que a veces demostrar que un vecindario en el sentido de (2) es abierto no es completamente trivial, mientras que un vecindario en el sentido de (1) siempre es abierto. En momentos como estos, me pregunto por qué se usa la segunda definición de vecindario. Pero he aprendido topología principalmente de Munkres, y por lo tanto podría desconocer las ventajas de la definicion (2).

Entonces, ¿cuáles crees que son algunas de las ventajas de usar (2) como definición de un vecindario de un punto $x \in X$, donde $X$ es un espacio topológico?

(Esta podría ser una pregunta duplicada. Pero busqué un poco y no pude encontrar una pregunta que fuera exactamente similar a esta. Así que, discúlpame si he preguntado algo que ya se preguntó antes.)

Answer 1

No sigo tu argumento; si acaso, me parece un argumento a favor de la definición 2). Estás diciendo que puede no ser trivial demostrar que un vecindario en el sentido de la 2) es un vecindario en el sentido de la 1). Pero, ¿por qué la definición que contiene más propiedades no triviales es la mejor? Es más fácil agregar las propiedades no triviales cuando están ahí que restarlas cuando no lo están. Si usamos la definición 2), podemos expresar fácilmente ambos conceptos hablando de "vecindarios" y "vecindarios abiertos". Si usamos la definición 1), tenemos que hablar de "conjuntos que contienen vecindarios" y "vecindarios" -- eso es ligeramente más complicado.

Además, a menudo no importa si el vecindario es abierto. Por ejemplo, si una función es constante en un vecindario de $x\in\mathbb R$, su derivada en $x$ es cero. Si formulas esto en términos de vecindarios abiertos y por alguna razón tienes que una función es constante en un intervalo cerrado, debes añadir el paso algo artificial de especificar un intervalo abierto dentro de ese intervalo cerrado en el cual la función es constante. O podrías decir que si una función es constante en un conjunto que contiene un vecindario de $x\in\mathbb R$, su derivada en $x$ es cero, pero eso involucra de nuevo la complicación con "conjuntos que contienen vecindarios".

Answer 2

Entonces, después de todos los comentarios y respuestas geniales (especialmente el comentario de t.b.) fui y realmente tomé prestada la Topología General de Bourbaki de la biblioteca. Después de leer las páginas 18, 19, 20, realmente he podido entender mejor por qué la definición 2) de un vecindario es beneficiosa. Como mencionan t.b., Andre y Joriki, nos permite definir de manera única una topología en un conjunto X (demostrado como Proposición 2 en el libro de Bourbaki).

Lo que he logrado extraer de todos los comentarios y de leer las primeras páginas de Bourbaki es que una ventaja importante de definir un vecindario de un punto $x \in X$ como un subconjunto de $X$ que contiene un conjunto abierto que contiene a $x$ es esta simple consecuencia:

Cualquier conjunto que contenga un vecindario de $x$ también es un vecindario de $x. (Esto fue mencionado por Joriki en su respuesta)

De hecho, observa que si definimos un vecindario como en 2) y denominamos por $B(x)$ al conjunto de todos los vecindarios de un punto $x \in X$, entonces $B(x)$ satisface las siguientes propiedades:

(i) Cualquier subconjunto de $X$ que contenga un elemento de $B(x)$ es un elemento de $B(x).

(ii) La intersección de dos elementos de $B(x)$ es un elemento de $B(x).

(iii) Cada elemento de $B(x)$ contiene a $x.

(iv) Si $V \in B(x)$, entonces existe $W \in B(x)$ tal que para todo $y \in W, V \in B(y).

La Proposición 2 de Bourbaki dice lo siguiente: Sea $X$ un conjunto, y para todo $x \in X$ dejemos que $B(x)$ denote una colección de conjuntos que satisfacen 1) - 4). Entonces existe una topología única en $X$ respecto a la cual el conjunto $B(x)$ es precisamente la colección de vecindarios de $x.

Si uno intenta demostrar esta proposición, verá que (i) es crucial en la prueba del hecho de que uno puede construir una topología única solo usando vecindarios (como t.b., Andre y Joriki han mencionado anteriormente), y falla si usamos la definición 1) para un vecindario. Nota que las condiciones (ii), (iii), (iv) se cumplen en los vecindarios si se definen en el sentido de 1) (es decir, lo que la gente llama vecindarios abiertos).

Por lo tanto, la definición 2) pone conjuntos abiertos y vecindarios en un mismo nivel. En la Introducción a la Topología General, Bourbaki dice que uno puede tomar ya sea vecindarios o conjuntos abiertos como el concepto más primitivo.

También veo por qué en un primer curso de topología, mi profesor decidió no dedicar demasiado tiempo a explicar este tema.

(No quiero responder mi propia pregunta de esta manera. Solo estoy repitiendo lo que otros han dicho, ya que escribir algo a menudo me ayuda a entender mejor el concepto. Así que para aquellos de ustedes que han publicado respuestas, por favor no se ofendan).

Answer 3

Sean $X$ e $Y$ dos espacios topológicos. Denotemos por $\mathcal{V}_x$ los vecindarios de $x \in X$. Haz lo mismo para $y \in Y$. Luego, una función $f: X \to Y$ es continua en un punto $x \in X$ si y solo si $$ f^{-1}\left(\mathcal{V}_{f(x)}\right) \subset \mathcal{V}_x. $$

El prototipo para el concepto de espacios topológicos es el de espacios métricos. Ahí, el concepto natural no es el de "conjunto abierto". En mi opinión, el concepto natural para enlazarse con la topología es el de una base de vecindarios. Las bolas centradas en $x$ son una base de vecindarios en $x$. Lo mismo es cierto si te restringes a bolas de radio $\varepsilon_n > 0$, donde $\varepsilon_n \rightarrow 0$.

Con el concepto de vecindario, un conjunto abierto es un conjunto que es un vecindario de todos sus puntos. ¡Así es como se definen los "conjuntos abiertos" en un espacio métrico! Y esto solo es posible si la definición de "vecindario" no requiere que un conjunto sea abierto.

Como dijiste, el hecho de tener que preocuparse por si un conjunto es o no abierto podría ser irrelevante, y, sin embargo, difícil de probar. Por ejemplo, para espacios vectoriales topológicos o incluso grupos topológicos, la topología está determinada por la familia de vecindarios de cierto punto. Las transformaciones lineales o los homomorfismos son continuos si y solo si son continuos en cierto punto. Veo a muchos profesores luchando por demostrar que ciertos conjuntos son abiertos, cuando todo lo que necesitaban era demostrar que tienen interior no vacío.

Answer 4

Algunos comentarios reales:

Supongo que cuando dices $A \subset W$ en (2) permites el caso $A = W$ (si no, entonces puedes tomar un espacio con un punto y una topología discreta y luego, por definición (2), todo el espacio no es un vecindario de sí mismo).

La cuestión es que axiomáticamente defines una topología en un espacio al definir (más bien declarar) cuáles son los conjuntos abiertos. Ahora puedes declarar TODOS los conjuntos abiertos o puedes declarar una pequeña subcolección B de conjuntos abiertos (llamada base) y luego pedir la topología definida por esa base.

La distinción entre Munkres y Bourbaki es que Munkres define la topología al definir la colección de conjuntos abiertos, Bourbaki implícitamente define una base y luego dice que un conjunto W es abierto si cada punto tiene un elemento de la base contenido en W.

Así que ambas definiciones son en realidad equivalentes (por definición, las uniones arbitrarias de abiertos son abiertas, por lo que un vecindario en el sentido de Bourbaki es obviamente abierto).

Entonces, tu ejemplo teórico de grupos es una tautología. Lo interesante es mostrar que si $H \subset G$ tiene la propiedad mencionada, entonces en realidad también es cerrado.