Factores negativos de un número

Question

¿Puede un factor de un número ser negativo?

Es $-5$ un factor de $25$ o $-25$ ?

Se dice que un número es primo si tiene dos factores : $1$ y el propio número. Así que si $-5$ puede ser un factor de $5$ ¿Cómo se definen los números primos?

Gracias.

Answer 1

Creo que en la mayoría de los casos, en la escuela primaria y secundaria, nos limitamos a factorizar números enteros positivos para evitar este problema. Sin embargo, en las matemáticas superiores nos ocupamos de ello.

Técnicamente, al factorizar números enteros, los factores que difieren sólo en $\pm 1$ se consideran el mismo factor.

Así que realmente, $25=5\cdot5=(-5)\cdot(-5)$ son ambas factorizaciones de 25, pero las consideramos "iguales" porque los factores sólo difieren entre sí por $-1$ . Por convención, solemos hablar de las versiones positivas como "los factores".

En la teoría de los anillos, el significado de los números primos en $\Bbb Z$ es que el ideal $(a)\lhd\Bbb Z$ es un ideal primo si $a$ es un número primo. Como $(5)=(-5)$ como ideales, entonces parece justo que tanto 5 como -5 sean considerados como "primos".

Para principales dominios ideales más complicado que $\Bbb Z$ se pone aún más interesante. Si $p$ es un primo en un dominio $R$ y $u$ es una unidad del anillo, entonces $pu$ y $p$ se consideran el mismo primo, ya que $(pu)=(p)$ es un ideal primo. Esto se aplica a los números enteros porque en $\Bbb Z$ las únicas unidades son $\pm 1$ .

Answer 2

Planteas una cuestión interesante, que tiene repercusiones en varias formas de álgebra más avanzadas. Cuando tratamos con los enteros positivos no hay dificultad con las definiciones: un primo es un entero positivo, pero en contextos más amplios puede no haber un orden natural para decir si un número es positivo o negativo. Por ejemplo $i=\sqrt {-1}$ no se puede distinguir algebraicamente de $-i$ .

El único punto de interés es si debemos contar $1$ como un primo - y la convención general es que no se cuenta como un primo, sino como una unidad. $-1$ también es una unidad - podemos añadir $(-1)^2$ a cualquier factorización sin cambiar su valor.

Los números que se obtienen entre sí mediante la multiplicación por una unidad suelen denominarse asociados, por lo que $-5, 5$ son asociados en los números enteros, y puede ser apropiado llamar a ambos primos (asociados).

Hay ciertas cosas que sólo podemos hacer "hasta la multiplicación por unidades", y la factorización y la identificación de los números primos son dos de ellas.

Sin embargo, volviendo al principio, con los números enteros, los primos asociados vienen en pares, y es natural y conveniente trabajar con el miembro positivo de cada par.

Answer 3

De hecho, cuando ampliamos de enteros positivos a todos los enteros, tenemos que lidiar con el hecho de que esto introduce un elemento unitario (invertible) no trivial $\,-1,$ que puede estropear la unicidad de las factorizaciones primarias (hasta el orden), ya que, por ejemplo $\,pq = (-p)(-q)\,$ por $\,(-1)(-1) = 1.$ De forma similar para los polinomios con coeficientes racionales. Aquí cada número racional no nulo $\,r\,$ es una unidad (invertible) $\ r r^{-1} = 1,\,$ así que $\,p(x) q(x) = (r p(x)) (r^{-1} q(x)).\,$ Hay varias formas de remediarlo.

En primer lugar, del conjunto de todos los múltiplos unitarios de un primo, podríamos elegir algún representante "natural" y llamar primo sólo a ese elemento. Para los números enteros, una elección natural es el representante positivo, y para los polinomios uno que sea monic (coeficiente principal $= 1).$ Estos representantes se denominan a veces unidad normalizada representantes.

Alternativamente, podemos permitir que todos los múltiplos unitarios sean primos, y entonces alterar nuestro enunciado de singularidad de las factorizaciones primarias para decir: las factorizaciones primarias son únicas hasta el orden y los múltiplos unitarios.

Si estudias álgebra abstracta aprenderás que hay una forma algebraica natural de "ignorar" estas molestas unidades no triviales al estudiar la factorización. A saber, como las unidades forman un grupo $\,U,\,$ podemos modifcar por $\,U.\,$ Esta es la forma algebraica de trabajar multiplicativamente "hasta los múltiplos unitarios".

Answer 4

La condición que has dado no es suficiente para que un número sea primo. También se requiere generalmente que sea mayor que $1$ y que los divisores considerados sean positivos.