No se puede calcular la integral$\int_0^{\pi/2}\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)\,dx$

Question

Deje $I(a,b):= \int_0^{\pi/2}\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)\,dx$

Calcular el $I(c,d)$.

Mi intento:

Definir la función $F(a,b,x)$ siguientes $\frac{\partial f}{\partial a}F(a,b,x)=\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)$

Entonces $I(a,b):= \int_0^{\pi/2}\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)dx= \int_0^{\pi/2}\frac{\partial f}{\partial}F(a,b,x)= \frac{\partial f}{\partial}\int_0^{\pi/2}F(a,b,x)$

La última igualdad se realiza mediante el uso de Leibniz integral de la regla, tengo que probar que la función está bien definida en un 3-cubo de dimensión.

El Cálculo De F:

$F(a,b,x)=\int \ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)\,da$

El uso de la integral por partes, $u'=1, u=a, v=\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x), v'=\frac{2a\cos^2x}{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}$

$F(a,b,x)=uv-v u=\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2)\espacio-espacio\\int\frac{2a^2\cos^2x}{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}\,da= un{\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2)} \espacio-espacio\\int\frac{2a^2\cos^2x}{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}da= un{\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2)}\espacio-espacio\\int\frac{2a^2\cos^2x+b^2\sin^2x-b^2\sin^2x}{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}da= un{\ln(a^2\cos^2x+b^2\sin^2)}-\int 1-\frac{b^2\sin^2x}{(a^2\cos^2x+b^2\sin^2)}da$

Y estoy atascado.. no sé cómo manejar eso integral. Ni siquiera estoy seguro de que soy resolver correctamente..

Algún consejo?

Answer 1

Sugerencia. Uno puede establecer $$ f(s):=\int_0^{\pi/2}\ln(s+\sin^2 x)dx, \qquad s\geq0. $$ A continuación, la diferenciación bajo el signo integral con respecto a $s$ consigue $$ \begin{align} f'(s)&=\int_0^{\pi/2}\frac1{s+\sin^2 x}dx\\\\ &=\int_0^{\infty}\frac1{s+\dfrac{t^2}{t^2+1}}\dfrac{dt}{t^2+1}\quad (t=\tan x)\\\\ &=\int_0^{\infty}\frac1{(s+1)t^2+s}dt\\\\ &=\frac{\pi}2\frac{1}{\sqrt{s(s+1)}}\\\\ &=\pi \left.\left(\ln \left(\sqrt{s}+\sqrt{s+1}\right)\right)\right|_s^{'} \end{align} $$ Mus $$ \int_0^{\pi/2}\ln(s+\sin^2 x)dx=\pi \ln \left(\sqrt{s}+\sqrt{s+1}\right)+C $$ with $C=f(0)=-\pi \ln 2$ (esta es estándar), dando

$$ \int_0^{\pi/2}\ln(s+\sin^2 x)dx=\pi \ln \left(\frac{\sqrt{s}+\sqrt{s+1}}2\right) \quad s\geq0.$$

Suponer sin pérdida de generalidad que $b^2>a^2$, entonces su integral inicial se obtiene por escrito $$ \ln\left(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x\right)=\ln(b^2-a^2)+\ln\left(s+\sin^2x\right). $$ with $s=\dfrac{a^2}{b^2-a^2}$.