Estoy leyendo el capítulo 1 del libro de Gille y Szamuely _Álgebras centrales simples y cohomología de Galois_ sobre álgebras de cuaterniones. En él demuestran (observación 1.3.1 en la p. 18) que la cónica asociada a un álgebra de cuaterniones es un invariante intrínseco del álgebra, es decir, no depende (al menos hasta el isomorfismo de la cónica) de la base elegida para el álgebra. El argumento casi me convence, pero no del todo (ver abajo). Me pregunto si el ingrediente que necesito para convencerme es lanzar el argumento en lenguaje teórico del esquema. Por lo tanto, mi primera pregunta es: ¿puedes ayudarme a formular el argumento de una manera que se refiera a mi incomodidad con él? Mi segunda pregunta es, ¿podemos utilizar esquemas para hacerlo?
Antecedentes: Dejemos que $k$ sea un campo de característica $\neq 2$ . El álgebra de cuaterniones
$$A = \binom{a,b}{k}$$
para $a,b\in k^\times$ es el asociativo de cuatro dimensiones $k$ -con base $1,i,j,ij$ y la multiplicación (no conmutativa) definida por $i^2=a, j^2=b, ij = -ji$ ; $1$ se identifica con la unidad de $k$ . (Así, los cuaterniones de Hamilton habituales son el caso $a=b=-1, k=\mathbb{R}$ .) Un cambio de base son los elementos $1,i',j',i'j'$ en $A$ satisfaciendo $i'^2=a', j'^2=b', i'j'=-j'i'$ para algunos (posiblemente diferentes) $a',b'\in k^\times$ . El subespacio abarcado por $i,j,ij$ no depende de la base ya que un cálculo muestra que es exactamente el conjunto de elementos de $A\setminus k$ cuyo cuadrado es $\in k$ . Esto se llama el subespacio de cuaterniones puros .
La cónica asociada a $A$ es la cónica en $\mathbb{P}^2_k$ definido por la forma $ax^2+by^2-z^2$ . Hasta una simple sustitución, esto es lo mismo que la cónica definida por $ax^2+by^2-abz^2$ .
$A$ se dice que dividir si es isomorfo a $M_2(k)$ . Por ejemplo, si $a=1$ , $A$ está dividido, porque puede ser mapeado isomórficamente en $M_2(k)$ por
$$i\mapsto \begin{pmatrix}1& \\ &-1\end{pmatrix},\; j\mapsto \begin{pmatrix} &b\\ 1& \end{pmatrix}$$
Un teorema básico dice que $A$ está dividido si y sólo si la cónica asociada tiene un $k$ -punto racional.
El argumento: Gille y Szamuely argumentan que el cambio de base en un álgebra de cuaterniones, que puede cambiar $a,b$ no obstante, no cambia la clase de isomorfismo de la cónica asociada. Su argumento es esencialmente que la forma $ax^2 + by^2 - abz^2$ que define la cónica viene dada simplemente por la elevación al cuadrado del cuaternión puro $xi + yj + zij$ . Dado que el espacio de los cuaterniones puros es independiente de la base, también lo es esta forma y, por tanto, la cónica.
Mi malestar con ella: Me gusta este argumento, y lo compro en esencia, pero hay un detalle que me inquieta. En concreto, cuando intento escribir una descripción independiente de la base de la cónica, no encuentro nada (literalmente):
Bien, entonces la cónica "es" el conjunto de fuga en $\mathbb{P}_k^2$ de la forma $ax^2+by^2 - abz^2$ . Genial, puedo concebir $\mathbb{P}_k^2$ como el cociente del espacio de cuaterniones puros por el escalar $k^\times$ acción. Entonces la cónica es el conjunto de fuga de la forma $\alpha^2$ , donde $\alpha$ es un cuaternión puro.
El problema es este. En todos los casos interesantes, es decir, siempre que $A$ no se divide, la cónica que acabo de describir sí, como un conjunto, vacío . (Porque la cónica no tiene $k$ -puntos racionales cuando $A$ no está dividido). Este conjunto vacío ha perdido la capacidad de distinguir entre álgebras de cuaterniones no divididas y no isomorfas, por lo que no está haciendo el trabajo para el que vine.
Esta objeción no parece muy sustantiva. La cónica no es realmente el conjunto de sus $k$ -puntos racionales. (Esto parece justo el tipo de distinción que la teoría de esquemas es buena, de ahí el título de la pregunta).
Mi pregunta: Está claro que necesito una descripción más sólida e independiente de la base de la cónica. Me gustaría que fuera la $\operatorname{Proj}$ de $k[x,y,z]/(ax^2+by^2-abz^2)$ pero esta descripción no es independiente de la base. ¿Qué opinas?
Gracias de antemano.
