Sea$n>2$ y$q$ una potencia principal. Quiero encontrar todas las incorporaciones de$GL(n-1,q)$ en$GL(n,q)$. Una inclusión que primero pensé es como seguir. $V$ Es un$n$ - espacio vectorial dimensional sobre$GF(q)$ y$H$ es un subgrupo de$GL(V)$ fijando un vector no nulo en$V$. Entonces$H$ es isomorfo a$GL(n-1,q)$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Así que la pregunta debería ser: si $H$ es un subgrupo de ${\rm GL}(n,q)$ isomorfo a ${\rm GL}(n-1,q)$, entonces el no $H$ necesariamente fijar en dos subespacios complementarios de $V$ de las dimensiones de $1$$n-1$?
Esta es una pregunta trivial. Deje $K$ a ser el campo de orden de $q$. Entonces la única simple $KH$-módulos de dimensión menor que $n$ tienen dimensiones 1 y $n-1$, por lo que los constituyentes de $V$ $KH$- módulo debe tener dimensiones de la $1$$n-1$, pero entonces la pregunta es si este módulo es completamente reducible, y que depende de la 1-cohomology de $H$ $(n-1)$- dimensiones de los componentes.
Hay algunos casos en los que hay incrustaciones que no son completamente reducible, por lo que la respuesta a la pregunta es no. Estos incluyen $n=3$, $q=2^k$ para $k \ge 2$, y también $n=4$, $q=2$. Creo que la respuesta es sí en todos los demás casos, pero yo no apostaría por ello!
Añadido posterior: aquí es aproximada de la descripción de la no-ejemplos naturales al$n=3$$q=2^k$. Consideremos, en primer lugar el subgrupo de matrices de la forma
$$\left( \begin{array}{ccc}a&b&0\\c&d&0\\x&y&1\end{array} \right).$$
en que $ab-cd=1$. Este es un semidirect producto de $K^2$ ${\rm SL}(2,q)$ con la acción natural. Resulta que $H^1({\rm SL}(2,2^k),K^2)$ es distinto de cero, y tiene dimensión 1 $K$, cuando se $k \ge 2$.
Deje $C \cong {\rm SL}(2,q)$ ser el complemento de $K^2$ correspondiente a un elemento distinto de cero de a $H^1({\rm SL}(2,q),K^2)$. A continuación, $C$ no actúan totalmente reducibly en $V$, y el subgrupo $H$ gerenrated por $C$ y escalar de matrices es isomorfo a ${\rm GL}(2,q)$. Luego (dependiendo de si tu matrices de ley a la izquierda o a la derecha) $H$ corrige un 1-dimensional o una de 2 dimensiones subespacio de $V$, pero no tanto, y la transpuesta de a $H$ hace lo contrario. Así que sólo hay dos clases conjugacy de la no-natural ${\rm GL}(2,q)$s en ${\rm GL}(3,q)$.
GmonC
Puntos
114
Si su última frase es la definición de "natural", entonces la respuesta es que otros embeddings son posibles. Dado que los siguientes siguen un patrón simple, es probable que desee extender "natural" para incluirlos también.
Siempre puede incrustar$GL(n-1,F)$ en$GL(n,F)$ enviando$A$ a la matriz de bloques $$ \begin{pmatrix} A&0\\0&\det A\end {pmatrix}. $$ A menos que$F=GF(2)$, la imagen de esta incrustación no tenga ningún vector fijo.
