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Question

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Supongamos que$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ son las raíces de$$g(x) = 1 - \frac{1}{x}$. Muestra esa $a>b>c$.

(Singapur-Cambridge GCSE A Level 2014, 9824/01 / Q2)

Pude demostrar que

ps

Después de lo cual no tengo ni idea de cómo continuar. Es posible validar numéricamente las relaciones, pero no puedo encontrar una solución analítica completa.

Answer 1

Para todo x$g^3(x)=x$ y$\displaystyle(x-a)(x-g(a))(x-g^2(a))=\left(x-a\right)\left(x-\frac{a-1}{a}\right)\left(x+\frac{1}{a-1}\right)=$$=x^3-3x^2+1$.

Answer 2

Reordenando$g(x) = 1 - \frac{1}{x},$ obtenemos$x = \frac{1}{1-g(x)}$. Sustituya en$f$ y obtengamos$$\left(\frac{1}{1-g(x)}\right)^3 - 3\cdot\left(\frac{1}{1-g(x)}\right)^2+1.$$ The numerator of this turns out to be: $$1 - 3(1-g(x)) + (1-g(x))^3 = -(g^3(x) - 3g^2(x) +1) \equiv -f.$$ for $ x \ equiv $ Hence we can say that the roots of $ A \ neq \ frac {1} {1-a} \ Rightarrow a ^ 2-a 1 \ neq 0 \,% 3

Answer 3

Nota: esto es sólo una pista

Usando las fórmulas de vieta

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Añadiendo$$a+b+c=3$$$ab+bc+ca=0$ $

Lo que es cierto de la relación entre raíces dada por la fórmula de vieta

Ahora construya su prueba