Tengo el siguiente tarea problema:
Considere dos carros de igual masa m en horizontal, sin fricción de la pista. Los carros están conectados por un único resorte de fuerza constante k, pero son de otra manera libre para moverse libremente a lo largo de la pista. (a) Escriba el Lagrangiano y encontrar la normal de frecuencias del sistema. Muestran que una de las normales de las frecuencias es igual a cero. (b) Encontrar y describir el movimiento en el modo normal cuya frecuencia es distinto de cero. (c) Hacer lo mismo para el modo con frecuencia cero.
Como nota, yo estoy solo en la parte (b) ahora.
Para la instalación, he representado a los carros con la ubicación de los bordes de los carros que están conectados a la primavera con las coordenadas $x_1$ $x_2$ y se dio a la primavera un equilibrio longitud de $L$.
Esto conduce a los siguientes términos en el Lagrangiano:
$ T = \frac{m}{2} \left( \dot{x_1}^2 + \dot{x_2}^2 \right) $
$ U = \frac{k}{2} \left( L + x_1 - x_2 \right)^2 $
Esto me lleva a las siguientes ecuaciones de movimiento:
$ m\ddot{x_1} = k (L + x_1 - x_2) $
$ m\ddot{x_2} = -k(L + x_1 - x_2) $
De esta forma una matriz de la ecuación diferencial
$ M \ddot{\vec{x}} = -K \vec{x} + \vec{L} $
con M = $m \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$, K = $k \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right)$, e $\vec{L} = kL \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right)$.
Para resolver esto, supongo que una forma de la solución de $\vec{x} = \vec{a} e^{i \omega t}$ donde $x_i, a_i \in \mathbb{C}$. Deshacerse de $\vec{L}$ rendimientos que el autovalor problema
$ \det\left( K - \omega^2M\right) = 0 $
Cuando voy a resolver esto, puedo obtener las soluciones
$ \omega^2 = 0, -\frac{2k}{m} $
La primera solución parece indicar 0 como un modo normal, que estoy completamente de espera. La segunda los resultados de la solución en una frecuencia compleja que tendrá un decaimiento exponencial como los carros de comenzar a mover. Esto es un poco de una sorpresa, sobre todo teniendo en cuenta que el problema menciones de problemas para el cero de modos normales. Sin embargo, mi intuición me dice que esto podría ser parcialmente correcta, ya que cuando el movimiento de la primavera se inicia una oscilación, el resorte debe tratar rápidamente para volver al equilibrio, ya que no hay nada de lo que está pasando con los carros. Pero esto parece indicar que el movimiento es oscilatorio, pero exponencialmente decreciente (de la forma $e^{-x}\sin{x}$).
De cualquier manera, me siento como que podría haber hecho algo potencialmente importante equivocado. Hay algo que es obvio que me he perdido? ¿Es la causa de un problema cuando me tiraron $\vec{L}$ y no ir todo el camino para encontrar una solución particular? Yo no pensé que iba a ser un problema, como no estaba involucrado en el autovalor problema.
Actualización: Después de pensar un poco más acerca de ella, creo que en realidad, esto puede ser correcto, al menos en el caso real, como la primavera tienden a regresar al equilibrio y no hay nada que tirar de los coches. Sin embargo, teniendo en cuenta la configuración dada en esta pregunta, me gustaría pensar que la primavera se oscilar perfectamente sin amortiguamiento, lo que resulta en una frecuencia que puede ser algo así como la forma de $\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}$. Esto es similar a la respuesta que me llegó en si la negativa es echado fuera (o si una solución de la forma $e^{\omega t - i \delta}$ es adivinar en lugar de una solución de la forma $e^{i \omega t - \delta}$.
Después de comprobar a través de mi matemáticas, me di cuenta de que el distinto de cero, se parte de los resultados en $\omega^2 = -2k/m$. Tomando cualquiera de los casos que he visto en la actualización justo antes de este (exponencial adivinar o error en los signos), llegamos con un modo normal de $\sqrt{2k/m}$, que suena a algo razonable. Alguien tiene algún comentario sobre eso?
