Teoría completa de la estructura de la teoría de conjuntos y extensiones genéricas

Question

Deje $V$ ser un modelo de $ZFC$. Deje $M \in V$ ser (posiblemente no transitiva) contables modelo de grandes fragmentos de $ZFC$ (por ejemplo contables de las subestructuras de la gran $H_\Theta$). Si $M$ modelos suficiente de $ZFC$, es posible que $\text{Th}_{\in}(M) \notin M[G]$ todos los $G$ genérico más de $M$ para algunos fijos obligando a poset?

Aquí $\text{Th}_\in(M)$ sólo denota al $\{\in\}$ frases de verdadero en $M$.

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La motivación para esta pregunta es: Todos contables $\in$-estructuras en $\omega$ pueden ser codificados por reales. Corrección de dicha codificación. Es posible encontrar una contables primaria de la subestructura de una gran estructura tal que $M[G]$ no puede contener el código para un modelo isomorfo a $M$.

Que contiene el código de $M$, es como decir $M \in M[G]$ que no es ciertamente posible. Sin embargo, $M[G]$ no tiene el isomorfismo que los testigos de que esta estructura en $\omega$ es isomorfo a $M$. Sin embargo, al tener una estructura isomorfo a $M$ implica que las $\text{Th}_\in(M) \in M[G]$. Así que esta pregunta puede ser resuelto si hay un $M$ tal que $Th_\in(M) \notin M[G]$.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario: dame la dirección de una versión más débil de la pregunta: ¿es posible tener $$\neg(\forall G\text{ $\mathbb{P}$-generic over $M$, }Th(M)\in M[G])?$$

La respuesta es sí. Considere la posibilidad de un pointwise definibles $M$ (ver http://arxiv.org/abs/1105.4597). (Tenga en cuenta que podemos tener $M$ es un modelo de todos los de $ZFC$, y es transitiva para arrancar, bajo suave consistencia de la hipótesis.) Entonces, ciertamente,$Th(M)\not\in M$, por Tarski del teorema. Pero si $Th(M)$ estaban en cada extensión genérica por algunos obligando a $\mathbb{P}\in M$, tendríamos $Th(M)\in M$ por Solovay del teorema (http://mathoverflow.net/questions/155915/who-proved-sets-in-every-generic-are-already-in-the-ground-model). Contradicción.

De hecho, por Solovay del teorema tendremos la siguiente: $Th(M)\in M[G]$ para cualquier extensión genérica $M[G]$ por algunos obligando a $\mathbb{P}\in M$, si y sólo si $Th(M)\in M$ ya.

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Tenga en cuenta que esto se extiende a demostrar que, para cualquier pointwise definibles $M$, obligando a la noción $\mathbb{P}\in M$, y lo suficientemente genéricos - tal vez más de $M$-genérico - filtro de $G\subseteq \mathbb{P}$,$Th(M)\not\in M[G]$. El punto de fricción es el genérico-pero-no-demasiado-los filtros genéricos, y por el momento no veo una manera de acabar con ellos . . .