¿Cómo encontrar$ab+cd$ dado que$a^2+b^2=c^2+d^2=1$ y$ac+bd=0$?

Question

Se da que$a^2+b^2=c^2+d^2=1 $

Y también se da que$ac+bd=0$

¿Cuál es entonces el valor de$ab+cd$?

Answer 1

ps

Answer 2

Asumo $a,b \in \mathbb{R}$. Dado que$a^2+b^2 = 1$, tenemos$-1 \leq a \leq 1$ y asimismo$-1 \leq b \leq 1$. Tomemos$a = \cos(\alpha)$ y$b = \sin(\alpha)$ sin pérdida de generalidad. Similarmente,$c = \cos(\beta)$ y$d = \sin(\beta)$.

Tenemos $ac + bd = \sin(\alpha) \sin(\beta) + \cos(\alpha) \cos(\beta) = \cos(\alpha - \beta) = 0$.

Tienes

(\ Alpha) \ cos (\ beta) \ sin (\ beta) \\ = \ frac {1} {2} (\ sin (2 \ alpha) \ Sin (2 \ beta)) \\ = \ sin (\ alpha \ beta) \ cos (\ alpha - \ beta) \\ = 0 $

La respuesta debe ser 0.

Answer 3

Puede interptetar$(a, b)$ y$(c, d)$ como dos vectores ortogonales que se encuentran en el círculo unitario. Al convertir esto en coordenadas polares, esto significa que hay ángulos$\phi$,$\theta$ tales que$(a, b) = (\cos(\phi), \sin(\phi))$,$(c, d) = (\cos(\theta), \sin(\theta))$ y$|\phi - \theta| = \frac{\pi}{2}$. Ahora observe que$$ab + cd = \cos(\phi)\sin(\phi) + \cos(\theta) \sin(\theta) = \sin(\phi + \theta)\cos(\phi - \theta) = 0$ $ porque$\cos\left(\pm \frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Answer 4

Si $b=0,ac=0\implies c=0\implies ab+cd=0$

Else$ac+bd=0\iff ac=-bd\iff\dfrac ab=\dfrac{-d}c=k$ (say)

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Si$\implies a=bk, d=-ck$ no necesariamente$a^2+b^2=c^2+d^2,$

$=1$ Si $b^2(1+k^2)=c^2(1+k^2)\implies b^2=c^2$

Ahora $1+k^2\ne0$

Answer 5

Ahora desde $a^2+b^2=c^2+d^2=1$ (a,b) y (c,d) son puntos en el círculo unidad. Usted puede pensar en estos pares ordenados como los vectores, ya que su producto escalar es cero. Entonces esto significa que son ortogonales. Ahora a x B da el área del triángulo en virtud del primer vector y C x D da área bajo la segunda vector. Estos triángulos son semejantes, ya que los ángulos son todos iguales, así que podemos utilizar el principio de similitud (no estoy seguro de que esta es la traducción correcta). Desde la hipotenusa son el mismo, lo que significa triángulos son iguales, por lo que sus áreas. Pero hacer rotación de 90 grados significa que en el segundo vector x o y coordinar va a cambiar de signo. Así que a x B = - C x D

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