Suponga que las variables aleatorias $x_k$ son yo.yo.d., no negativo, valores enteros, delimitada por $n$, y de tal manera que $P(x_k=0)$ $P(x_k=1)$ son positivos. Para cada $N\ge1$, vamos
$$
X_N= \min\{x_1,\ldots,x_N\}.
$$
Entonces, cuando $N\to+\infty$,
$$
E(X_N)=c^N(1+o(1)),
$$
donde $c<1$ es independiente de $N$ y dado por
$$
c=P(x_k\ge1).
$$
Por lo tanto $E(X_N)$ es infinitamente pequeño. Cuando cada una de las $x_k$ es Binomial $(n,p)$ $n\ge1$ $p$ $(0,1)$ fijo, el resultado se da con $c=1-(1-p)^n$.
Para ver esto, observe que $[X_N\ge i]=[x_1\ge i]\cap\cdots\cap[x_N\ge i]$ por cada $i$, y que, desde $X_N$ es no negativa y valores enteros, $E(X_N)$ es la suma de $i\ge1$$P(X_N\ge i)$, por lo tanto
$$
E(X_N)=\sum_{i\ge 1}P(x_1,\ge i)^N.
$$
Para cada $i\ge n+1$, $P(x_1\ge i)=0$. Para cada $2\le i\le n$, $0\le P(x_1\ge i)\le P(x_1\ge 2)$. Por lo tanto
$$
c^N\le E(X_N)\le c^N+(n-1)d^N,
$$
con
$$
c=P(x_1,\ge1),\quad d=P(x_1,\ge 2).
$$
Debido a $P(x_k=1)$ es positiva, se sabe que $d<c$, por lo tanto $E(X_N)\sim c^N$ al $N\to+\infty$.
