Problema con $\int \frac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin{x}\cos{x}} \text{dx}$

Question

Escribí \begin{eqnarray} I &=& \int \frac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin{x}\cos{x}} \text{dx}\\ &=& \int \frac{\sin^{3}x}{\sin{x}\cos{x}}\text{dx}+\int \frac{\cos^{3}x}{\sin{x}\cos{x}}\text{dx}\\ &=& \int \frac{\sin^{2}x}{\cos^2{x}}\cos{x}\text{dx}+\int \frac{\cos^{2}x}{\sin^2{x}}\sin{x}\text{dx}\\ &=& \int \frac{\sin^{2}x}{1-\sin^2{x}}\cos{x}\text{dx}+\int \frac{\cos^{2}x}{1-\cos^2{x}}\sin{x}\text{dx}\\ &=& \int\frac{u^2}{1-u^2}du-\int\frac{m^2}{1-m^2}dm\\ &=& \color{blue}{\int\frac{u^2}{1-u^2}du-\int\frac{u^2}{1-u^2}du}\\ &=& 0 \end {eqnarray} y otros

Dejemos que$x=\dfrac{\pi}{2}-t$ so $$I=\int \frac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin{x}\cos{x}} \text{dx}=-\int \frac{\sin^{3}t+\cos^{3}t}{\sin{t}\cos{t}} \text{dt}=-I$ $ pero la respuesta correcta es$$ I = \ ln \ left | \ dfrac {1 \ tan \ dfrac {x} {2}} {1- \ tan \ dfrac { X} {2} \ derecha | \ ln \ izquierda | \ tan \ dfrac {x} {2} \ derecha | - \ sin x \ cos x C $$

Pregunta.1 ¿Dónde está mal.?

Pregunta.2 ¿Qué condiciones garantizan que nuestra variable cambiante en integrales indefinidos no cambia nuestras soluciones finales ?.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\begin{align} \int \frac{u^2}{1-u^2}\,du&=-u+\frac12\log\left|\frac{1-u}{1+u}\right|+C\\\\ &=-\sin(x)+\frac12\log\left|\frac{1-\sin(x)}{1+\sin(x)}\right|+C \end{align}$$

y lo mismo para $\int \frac{m^2}{1-m^2}\,dm$$m=\cos(x)$, y no $\sin(x)$.

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NOTA:$1$:

Necesitamos preservar las identidades separadas de las transformaciones $u \to \sin(x)$ $m\to \cos(x)$ a lo largo del análisis. Es decir, que $u$ no es simplemente un "dummy" la integración de la variable en la medida en que representa a $\sin(x)$, y no $\cos(x)$.

Naturalmente, los dos se $u$ $m$ "dummy" de las variables en el sentido de que podemos usar otros símbolos para representar la transformación. Pero, es de importancia crítica para distinguir los dos tipos de transformaciones por el correspondiente par de símbolos que se utilizan como variables nuevas.

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NOTA:$2$:

Una manera de aclarar las cosas, es a su vez la integral indefinida en un definido. El independiente sustituciones lugar a distintos límites de integración.

Así pues, echemos un vistazo a las integrales de $\int_a^b \frac{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)}\cos(x)\,dx$$\int_a^b \frac{\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}\sin(x)\,dx$. En cumplimiento de la propuesta de sustituciones llegamos a

$$\begin{align} \int_a^b \frac{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)}\cos(x)\,dx=\int_{\sin(a)}^{\sin(b)} \frac{u^2}{1-u^2}\,du\tag 1 \end{align}$$

y

$$\begin{align} \int_a^b \frac{\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}\sin(x)\,dx=-\int_{\cos(a)}^{\cos(b)} \frac{u^2}{1-u^2}\,du \tag 2 \end{align}$$

Claramente, $(1)$ $(2)$ no agregar a cero.

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NOTA: $3$ :

La integral indefinida (antiderivada), $F(x)$, de una función de $f$, puede ser más claramente escrito $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt+C$ (para un adecuado número de $a$). Esto puede ayudar a evitar el riesgo potencial que proviene de la notación $F(x)=\int f(x)\,dx$.

Answer 2

El paso que está equivocado es precisamente el que está resaltado en azul. ¿Tiene$u=\cos(x)$ y$m=\sin(x)$, cómo puede entonces establecer feliz$m$ to$u$?

Answer 3

ps

ps

Como y $$\sin^3x+\cos^3x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)$

Establecer$$\implies\dfrac{\sin^3x+\cos^3x}{\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}-\sin x-\cos x$en$\int(\sin x+\cos x)dx=\sin x-\cos x

Answer 4

Todas las otras respuestas aquí parece que se esta complicando demasiado. Vamos a intentar un simple ejemplo: Deje $0=a$$1=b$. Según su lógica, estos deben ser iguales, lo que es claramente aseguró. Lo que falta aquí es que el uso de una letra para representar algo es solo simbólico - pensar en las letras como acaba de ser la abreviatura de algo más.

Tal vez otro enemigo de su confusión es cuando se puede restar integrales para obtener $0$. ¿Por qué hacemos esto? Es debido a $a-a=0$, pero lo que estaban tratando de hacer era reclamación $a-b=0$, lo cual sólo es cierto cuando se $a=b$. Tenga en cuenta que esto no es una igualdad entre los símbolos propios, pero en lugar de una igualdad entre lo $a$ representa y lo $b$ representa