Como Pablo dice, cualquier semisimple elemento se encuentra en un máximo de toro, donde se puede tomar cualquier raíz. Por otro lado, si $g$ es unipotentes, entonces es en la imagen de la exponencial mapa, así que usted puede hacer sentido de $g^\lambda$ cualquier $\lambda \in \mathbb C$, por lo que contraejemplos debe tener trivial semisimple y unipotentes partes.
Supongamos $g=s.u=u.s$ es el Jordán de la descomposición de un elemento. A continuación, $s^n$ $u^n$ son semisimple y unipotentes, respectivamente, por lo que son el Jordán de la descomposición de $g^n$. Por tanto, la existencia de raíces es compatible con Jordania descomposición.
Ahora tome un semisimple elemento $s$ tal que $Z_G(s)^0$ no contiene una central de toro (de modo que su centro es finito) -- si $G$ es simplemente conectado, a continuación, en el hecho de $Z_G(s)$ está conectado, así que voy a suponer que. Ahora elija un regular unipotentes elemento $u$ $Z_G(s)$ y considerar
$g =s.u$. Quiero reclamar $g$ es un contraejemplo. De hecho, supongamos que para cada una de las $n$ tenemos $h_n$ $n$- ésima raíz, y $h=s_nu_n$ es su Jordan descomposición. A continuación,$s_n^n =s$$u_n^n=u$, y tanto $s_n$ $u_n$ mentira en $Z_G(s)$. Entonces podemos ver que $s_n$ centraliza $u$ todos los $n$, pero desde $u$ es regular en $Z_G(s)$ $s_n$ semisimple de ello se sigue que $s_n$ debe estar en el centro de la $Z_G(s)$. Pero, a continuación, tomar, digamos, $n$ igual a la orden de dicho centro (que es finito), llegamos a una contradicción, como $s_n^n$ debe, entonces, ser $1$.
Semisimple elementos $s$ tal que $Z_G(s)$ no contiene una central toro existe, pero hay sólo un número finito de clases conjugacy de ellos, como era esencialmente se muestra en el papel de Borel y de Siebenthal. De hecho, creo que el papel se establece que hay $r+1$ clases donde $r$ es el rango de $G$, por lo que esto daría una respuesta negativa para los grupos excepcionales también. Sospecho que estos de alguna manera podría ser la única contraejemplos?
