Cuando definimos un número entero, decimos que es un número entero que puede ser positivo o negativo o equivalente es un número sin parte fraccional. ¿Significa eso que es un número sin parte fraccionaria en base$10$ o en cualquier base? Porque si es así, entonces la definición estaría bien puesto que es imposible representar un número entero en una base diferente que tenga una parte fraccionaria. Sólo estoy confundido cómo definimos lo que es un entero.
Respuestas
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notpeter
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588
Como usted dice, no importa si nos insisten en que el número de enteros sólo en base 10 o en cada base (al menos cada entero base...!) Los Babilonios, la gente moderna, y los lenguajes de computador están de acuerdo en lo de los enteros. Así que en realidad no importa que la definición que elegir. De hecho, no hay necesidad de traer en el número de bases en todo en la definición de los números enteros. Es menos preocupante que hacerlo de esta manera: definir los números naturales como un sistema de números en el que la inducción tiene (los detalles de este se llama aritmética de Peano), y luego construir los enteros de ellos, sin mencionar nunca que en realidad podemos escribir números como números en una base fija! O, si te gusta pensar de todos los números, como ya se ha dado, los enteros son todos los números que usted puede obtener a partir de $0$ $1$ por sumar, restar y multiplicar, pero no de dividir. Esta es quizás la más clara explicación de por qué el aparentemente diferentes definiciones en diferentes número de bases de estar todos de acuerdo.
ugoren
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161
Estás mezclando dos cosas:
- Cómo es un número definido?
- ¿Cómo es un número representado con los símbolos?
Un número entero puede ser definido como la diferencia entre dos números naturales. Números naturales puede ser definido como el número de elementos de un conjunto. Hay más matemáticamente robusto definiciones, normalmente utilizando la teoría de conjuntos, pero son complicados.
De todos modos, estas definiciones no tienen idea de base.
La base viene cuando se quiere representar un número por una secuencia de dígitos. A continuación, la base determina la fórmula que combina los valores de los dígitos.
j-man86
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3657
Estoy confundido ¿cómo definimos qué es un número entero.
Tal vez eso es porque hay más de una manera y, debido a las diferentes definiciones han sido populares en diferentes momentos de la historia.
Wikipedia da un formalismo, basado en la teoría de conjuntos y las simples reglas del álgebra, que define el conjunto de los números enteros en términos de los números naturales sin asumir nada acerca de lo "negativo" o "lo opuesto". https://en.wikipedia.org/wiki/Integer#Construction
Brandon G
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643
Natural de los números son los adecuados para contar las veces que algo sucede en el mundo real.
Lo mas cercano a un número natural que he conocido en el CS se lambda-cálculo de la Iglesia codificaciones: digamos que usted quiere expresar FOUR: bien, todo lo que tienes que hacer es aplicar cuatro veces en función de su gusto a los demás, también de función arbitraria que decidió llamar a ZERO. FOUR = f(f(f(f(ZERO)))).
Esto hace que, de hecho, sentido de llevar a cero en la imagen, ya que las cosas en nuestro planeta también puede nunca ocurrir.
Tiene también sentido pensar en los opuestos: sin duda hay una relación entre poner las cosas dentro de una caja y saca de ella.
Habiendo hecho todo esto, yo diría que tenemos en nuestras manos una muy agradable, redondo y útil conjunto de entidades. Vamos a darle un nombre. Cómo acerca de los números enteros? Es un nombre que transmite pureza, la integridad, la credulidad y creo que no fue elegido por casualidad.
Esta es la definición. El resto es de los detalles de implementación. Como la aplicación no llevar a conflictos con la definición, es válido.
goblin
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21696
Eso no es una definición adecuada de la $\mathbb{Z}$. He aquí un riguroso (suficiente) definición.
Definición de 0.
- Los elementos de $\mathbb{Z}$ son formales de la expresión de la forma $b-a$ donde $b$ $a$ son elementos de $\mathbb{N}$.
- Declaramos que $b-a = b'-a'$ $\mathbb{Z}$ fib $b+a' = b'+a$$\mathbb{N}$.
Por ejemplo:
- $3-0$ puede ser visto como un entero
- $4-1$ puede ser visto como un entero
- como los números enteros, estas expresiones son iguales, debido a: $$3-0 = 4-1 : \mathbb{Z} \iff 3+1 =4+0 : \mathbb{N}$$
La primera cosa que hay que comprobar es que la igualdad es una relación de equivalencia en los enteros.
La reflexividad. Estamos tratando de demostrar $$b-a = b-a$$ in the integers. But this is equivalent to $$b+a = b+a$$ en los naturales, que es obviamente cierto.
La simetría. Estamos tratando de demostrar la implicación $$\frac{b-a = b'-a'}{b'-a' = b-a}$$ in the integers. But this is equivalent to the implication $$\frac{b+a'= b'+a}{b'+a = b+a'}$$ en los números naturales, que es obviamente cierto.
La transitividad.
Queremos mostrar que $$\frac{b-a = b'-a' \qquad b'-a' = b''-a''}{b-a = b''-a''}$$ en los enteros.
Pero esto es equivalente a $$\frac{b+a' = b'+a \qquad b'+a'' = b''+a'}{b+a'' = b''+a}$$ en los números naturales.
Así que supongamos $$b+a' = b'+a \qquad b'+a'' = b''+a'$$
Ahora lo $+a''$ a la izquierda de la expresión y $a+$ a la expresión de la derecha. Obtenemos: $$b+a'+a'' = b'+a+a'' \qquad a+b'+a'' = a+b''+a'$$
Por lo tanto $$b+a'+a'' = a+b''+a'$$
Por lo tanto el uso que además es cancellative en $\mathbb{N}$, podemos quitar el $a'$ términos, y así podemos deducir $$b+a'' = b'' + a,$$ como se requiere.
Esto completa la prueba.
Por desgracia, estamos realmente acaba de empezar. Saber si dos números enteros son iguales no nos da mucho; para hacer que nuestra definición de $\mathbb{Z}$ útil, necesitamos explicar cómo hacer operaciones aritméticas dentro de nuestro nuevo juego.
Las siguientes especificaciones de hacer el truco:
Definición 1. La suma y la multiplicación en $\mathbb{Z}$ funcionan de la siguiente manera:
$$(b-a)+(b'-a') = (b+b')-(a+a')$$
$$(b-a)(b'-a') = (bb'+aa')-(ba'+b'a)$$
Estos están bien definidos prefunctions, pero tenemos que comprobar son genuinas funciones. En otras palabras, tenemos que comprobar que estas definiciones para jugar bien con la igualdad de la relación en $\mathbb{Z}$.
La proposición de 0. Además en $\mathbb{Z}$ es una función.
Prueba. El truco es reducir esto a una instrucción aritmética de los números naturales, que luego se puede probar usando nuestro conocimiento de $\mathbb{N}$.
Supongamos que se nos ha dado números naturales $$b_0,a_0,b_0',b_0',b_1,a_1,b_1',b_1'$$
Tenemos que mostrar que la siguiente implicación tiene en los números enteros:
$$\frac{b_0-a_0 = b_1-a_1 \qquad b_0'-a_0' = b_1'-a_1'}{(b_0-a_0)+(b_0'-a_0') = (b_1-a_1)+(b_1'-a_1')}$$
Observar que nuestros dos supuestos se puede reformularse diciendo que en los naturales.
Con respecto a nuestro objetivo, observar que puede ser reformulado como diciendo: mostrar que $$(b_0+b_0')-(a_0+a_0') = (b_1+b_1')-(a_1+a_1')$$ en los enteros.
En otras palabras: mostrar que $$(b_0+b_0')+(a_1+a_1') = (b_1+b_1')+(a_0+a_0')$$ en los naturales.
Por lo que podemos reducir el problema a probar la siguiente implicación en los naturales:
$$\frac{b_0+a_1 = b_1+a_0 \qquad b_0'+a_1'=b_1'+a_0'}{(b_0+b_0')+(a_1+a_1') = (b_1+b_1')+(a_0+a_0')}$$
Prueba. Suponiendo que las dos condiciones en la parte superior de la línea, y el uso de nuestro conocimiento de $\mathbb{N}$, obtenemos la siguiente cadena de igualdades:
- $(b_0+b_0')+(a_1+a_1')$
- $(b_0+a_1)+(b_0'+a_1')$
- $(b_1+a_0)+(b_1'+a_0')$
- $(b_1+b_1')+(a_0+a_0')$
Por lo tanto $(b_0+b_0')+(a_1+a_1') = (b_1+b_1')+(a_0+a_0'),$ como se requiere.
Esto completa la prueba de la Proposición de 0.
Proposición 1. La multiplicación por $\mathbb{Z}$ es una función.
Esto se deja como ejercicio para el lector.
Vamos a ir por delante y el nombre de ciertos elementos especiales de $\mathbb{Z}$:
Definición 2. Cero y uno en $\mathbb{Z}$ se dan de la siguiente manera:
$$0_\mathbb{Z} = 0-0$$
$$1_\mathbb{Z} = 1-0$$
Ahora para la última parte: mostrar que todo lo que hemos definido hasta ahora juega bien juntos!
Teorema. $\mathbb{Z}$ satisface los axiomas para una conmutativa, unital anillo.
Prueba. Lo siento, me he quedado de vapor. Tal vez voy a agregar este poco más tarde.
