¿Por qué no $\sqrt{2}^{\sqrt{2}{^\sqrt{2}{^\cdots}}}>2$?

Question

Así tenemos$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}{^\sqrt{2}{^\cdots}}}=x\\\sqrt{2}^x=x$$where $x=2$ heuristically seems like a good solution. However, $x=4$ seems like an equally good solution. I was told in passing that $x$ was bounded at $2$, pero no estoy seguro de cómo mostrar este.

Actualización

Parece que el quid de este problema es si la secuencia de $a_n$ converge o diverge, donde$a_0=1$$a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_n}$.

Answer 1

Considere la secuencia correspondiente, donde$a_0=1$$a_{n+1}=\sqrt2^{a_n}$, y el uso de la inducción: $a_n\le 2$.

Answer 2

Gran pregunta. En realidad estaba leyendo acerca de esto hace algún tiempo. Echa un vistazo a este blog. Usted puede encontrar que es útil.

Answer 3

Veamos la secuencia. Definimos nuestra relación de recurrencia para ser $$a_0=1$$ $$a_n=\sqrt{2}^{a_{n-1}}$$ Note that the number, (what you call $x$) is the limit$$lim_{n\rightarrow\infty}a_n$$. Entonces, ¿cómo podemos entender esta situación y lo que está pasando. Bueno, permítanme describir un famoso manera de representar las órbitas de estos tipos de recurrencias.

Así que comienza por dibujar sobre el mismo conjunto de ejes de las dos funciones de $g(x)=\sqrt{2}^x$ , e $y=x$.

Ahora a empezar con su valor inicial, $a_0=1$. El uso de esta etiqueta el punto de $(1,1)$. Dibuja la línea vertical que conecta $(1,1)$$(1,g(1))$. En palabras, se dibuja la Línea vertical segmento que conecta $(1,1)$ a la gráfica de $g(x)=\sqrt{2}^x$. Ahora puede dibujar la línea horizontal que pasa a través del nuevo punto de $(1,g(1))$ y ver donde se conecta a la gráfica de $y=x$. Este nuevo punto que se obtiene es $(g(1),g(1))$. Ahora toma la línea vertical (como hicimos para $(1,1)$) y ver a dónde se conecta a la gráfica de $y=g(x)$, y repetimos el procedimiento para siempre. La imagen que se obtiene para esta función en particular es un infinito caja de la escalera, cuyos puntos de esquina son $$\{(1,1);(1,g(1));(g(1)g(1));(g(1)g(g(1))); g(g(1));g(g(1));\cdots\}$$. You notice that this is converging to the point $(2,2)$.

Ahora algunas observaciones en general. Cuando usted tiene alguna función, $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ (el dominio no necesariamente deben br/$\mathbb{R}$) y se desea encontrar el valor del límite $$a,f(a),f(f(a))$$, like we did here, the solution (if it exists) wil be a fixed point of the function. Now we can follow the iteration in similar way where we draw these line segments whose corners are $$\{(a,a);(a,f(a));(f(a),f(a));f(a),f(f(a));(f(f(a)),f(f(a)))\cdots\}$$. Our function above was special enough that the geometry of the initial point and the function gave us the that the limit is $(2,2).$ Ver la imagen en la wikipedia artical

http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_point_%28mathematics%29#Attractive_fixed_points

La imagen muestra el mismo tipo de iteración, excepto que el punto inicial es $x=1$, y la función de hacer de la iteración es $y=cos(x)$. La diferencia aquí es que en lugar de una caja de escalera, la "pista de$ espirales alrededor del punto fijo.