¿Para qué se usan los automorfismos centrales?

Question

Un automorfismo central es un automorfismo$\theta$ para el cual$x^{-1}\theta(x)\in Z(G)$ para cada$x\in G$.

No es difícil probar que el conjunto de automorfismos centrales forma un subgrupo de$\operatorname{Aut}(G)$ que he visto escrito$\operatorname{Aut}_c(G)$.

¿Por qué se estudian los automorfismos centrales? ¿Para qué se usan? ¿Son importantes conceptualmente, y si es así, cuál es la intuición detrás de ellos? ¿Hay algo especial acerca de cómo funcionan cuando$G$ es finito, nilpotente o de primer orden?

Answer 1

Creo que la intuición detrás de la central de automorfismos es que no son exactamente los que conmuta con cada interior automorphism de $G$.

Un centerless finito grupo $G$ no tiene ninguna central de automorfismos, por lo que son importantes sólo para grupos con un no-trivial centro. Específicamente son importantes para el estudio de finito nilpotent grupos, particularmente finito $p$-grupos.

En general, es muy difícil demostrar que no trivial de los resultados sobre el automorphism grupo de un número finito de $p$grupo $G$, a pesar de que la central de automorfismos son relativamente más fácil y puede ser utilizado para investigar algunas de las propiedades de $\operatorname{Aut}(G)$. (Usted puede encontrar muchos ejemplos por una simple búsqueda en la red.) Esto se deduce de la relación arriba indicada por m.k. : cada central automorphism $\sigma$ determina un homomorphism $h_{\sigma}$ $G$ a de su centro dado por $h_{\sigma}(x) = x^{-1} \sigma (x)$. Esto induce una inyectiva mapa de $\sigma \rightarrow h_{\sigma}$,$\operatorname{Aut}_c(G)$$\operatorname{Hom}(G,Z(G))$. Este mapa no sería bijective en general (como se indica por m.k). Un resultado de Adney y el Yen afirma que es bijective iff $G$ no tiene abelian factor directo (o $G$ es puramente no-abelian).

Answer 2

Véase, por ejemplo,

Bunina, EI Automorfismos de los grupos de Chevalley del tipo$B_l$ sobre anillos locales con$1/2$. J. Math. Sci., New York 169, Nº 5, 557 - 588 (2010); Traducción de Fundam. Prikl. Estera. 15, Nº 7, 3 - 46 (2009).

Resumen de Zentralblatt: Se demuestra que cada automorfismo de un grupo Chevalley de tipo$B_l$,$l\ge 2$, sobre un anillo local conmutativo con$1/2$ es estándar, es decir, es una composición de anillo, Interior y central .