¿Qué es una explicación físicamente exacta de la condición de Kutta?

Question

Se han librado innumerables discusiones entre personas muy inteligentes ( en este mismo sitio, de hecho ) en cuanto a cómo se puede explicar exactamente el ascensor de una manera experimental y matemáticamente rigurosa. Tomando el flujo potencial aproximación e invocando la aproximación observada experimentalmente Condición de Kutta proporciona un modelo bastante preciso. La mayoría de las explicaciones de la condición de Kutta implican que la naturaleza evita la velocidades infinitas implicado por el flujo potencial alrededor de una esquina de radio cero. Sin embargo, aquí es donde surge el problema. Ningún objeto hecho por el hombre tiene un radio de curvatura cero. No podemos fabricar esquinas perfectamente afiladas de la misma manera que no podemos fabricar bordes perfectamente rectos; todos los objetos reales tienen un radio de curvatura distinto de cero. Por lo tanto, ningún flujo potencial requeriría en realidad una velocidad infinita para fluir adecuadamente a su alrededor. Por este razonamiento, afirmar que la Naturaleza "hace cumplir la condición de Kutta para evitar velocidades infinitas" tiene que ser falso, porque no se necesitan velocidades infinitas para fluir alrededor de ninguna geometría real. Además, sabemos que la condición Kutta es en realidad no mantenido por números muy bajos de Reynolds (ver aquí y abajo). ¿Hay una mejor explicación para la Condición Kutta que esta espuria referencia a las velocidades infinitas? Sé que el modelo de flujo potencial es solo una aproximación, pero ¿por qué un flujo realmente viscoso obliga a que el estancamiento trasero apunte al borde de salida?

Desde el MIT 16.100 Notas de la conferencia :

Flujo de Hele-Shaw Alrededor de un perfil aerodinámico (note que el punto de estancamiento trasero es no en el borde de salida):

Se puede ver un video del experimento anterior aquí .

Answer 1

La condición Kutta es completamente artificial.

Las ecuaciones potenciales son completamente artificiales.

Las ecuaciones potenciales son una construcción matemática que usamos porque es mucho más simple que el conjunto completo de ecuaciones de Navier-Stokes. Sabemos que la condición de Kutta es nunca en realidad se mantiene en cualquier flujo real de la historia. Sin embargo, cuando realizamos todos nuestros trucos matemáticos para llegar a las ecuaciones potenciales, la naturaleza misma de las ecuaciones ahora cambia.

En el Navier-Stokes completo, tenemos un PDE de segundo orden. Esto requiere 2 condiciones de límite. La primera es que no hay flujo a través del cuerpo. La segunda es que la velocidad tangencial es cero a lo largo del cuerpo (y nota esto tampoco es cierto en la vida real, hay algunas velocidad de deslizamiento a lo largo de los cuerpos en flujo real bajo algunas condiciones). Cuando obtenemos las ecuaciones potenciales, tenemos un PDE de primer orden y ahora sólo podemos imponer una única condición límite: no hay flujo a través del cuerpo.

Sin embargo, El ascenso en la vida real se debe a la viscosidad . La siguiente explicación es de la respuesta vinculada:

La razón por la que necesitamos la condición Kutta es puramente matemática. Cuando se hace la suposición invisible, el orden de las ecuaciones gobernantes desciende y ya no podemos hacer cumplir dos condiciones límite. Si miramos la incompresible y viscosa ecuación de momento:

$ \frac { \partial u_i}{ \partial t} + u_i \frac { \partial u_i}{ \partial x_j} = - \frac {1}{ \rho } \frac { \partial P}{ \partial x_i} + \nu \frac { \partial ^2 u_i}{ \partial x_j \partial x_i}$

podemos hacer cumplir dos condiciones límite porque tenemos una segunda derivada en $u$ . Típicamente fijamos estos para que sean $u_n = 0$ y $u_t = 0$ lo que implica que no hay flujo a través de la superficie y no hay velocidad a lo largo de la superficie.

Dejar caer el término viscoso resulta en tener sólo el primer derivado en $u$ y por lo tanto sólo podemos hacer cumplir una condición límite. Dado que el flujo a través del cuerpo es imposible, dejamos caer el requisito de que la velocidad tangencial sea cero esto resulta en la deslizamiento condición límite. Sin embargo, no es físicamente correcto dejar que esta línea de deslizamiento persista aguas abajo del borde de salida. Por lo tanto, la condición de Kutta es necesaria para forzar las velocidades para que coincidan en el borde de salida, eliminando el salto de velocidad discontinuo aguas abajo.

John Anderson Jr. explica en Fundamentos de la aerodinámica (énfasis en el texto):

... en la vida real, el camino que la naturaleza asegura que el flujo saldrá suavemente por el borde de salida, es decir, el mecanismo que la naturaleza utiliza para elegir el flujo... es que la capa límite viscosa permanece adherida todo el camino hasta el borde de salida. La naturaleza hace cumplir la condición Kutta por medio de la fricción. Si no hubiera una capa límite (es decir, sin fricción), no habría ningún mecanismo físico en el mundo real para lograr la condición de Kutta.

Elige explicar que la naturaleza encontró una manera de hacer cumplir la condición Kutta. Prefiero pensar en ello al revés la condición Kutta es una construcción matemática que usamos para hacer cumplir la naturaleza en nuestra aproximación matemática.