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¿Existe alguna función continua pero no uniformemente continuaf(x) tal quesin(f(x)) es uniformemente continua?

¿Existe alguna función continua pero no uniformemente continuaf(x) tal quesin(f(x)) es uniformemente continua?

En realidad, todos los ejemplos que estoy tomando paraf hacen que la función compuesta no sea uniformemente continua. No estoy seguro.

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Harald Hanche-Olsen Puntos 22964

Esta respuesta es completamente reescrito para mayor claridad. La idea es la misma que antes:

Suponga que f:RR es continuo, y que xsin(f(x)) es uniformemente continua. A continuación, f es uniformemente continua.

Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que la inversa de la función seno es uniformemente continua. Por lo tanto, vamos a 0<ε<π, y recoger η>0, de modo que |y1y2|<η implica |arcsin(y1)arcsin(y2)|<ε.

A continuación, utilice el uniforme de la continuidad de la xsin(f(x)) a recoger δ>0, de modo que |x1x2|<δ implica |sin(f(x1))sin(f(x2))|<η.

Ahora suponga x1<x2<x1+δ.

Voy a escribir [a,b] para el intervalo cerrado con puntos finales ab, incluso si se da el caso de que b<a.

En primer lugar, afirmo que la |f(x1)f(x2)|<π. Por otra parte, hay algunos entero n[(n12)π,(n+12)π][f(x1),f(x2)], y a continuación, podemos encontrar x3,x4[x1,x2] con f(x3)=(n12)π, f(x4)=(n+12)π, y f(x)[(n12)π,(n+12)π] todos los x[x3,x4]. Pero para x en este intervalo, f(x)=nπ+(1)narcsin(sin(f(x))), y nos encontramos con |sin(f(x3))sin(f(x4))|<η, y por lo tanto π=|f(x3)f(x4)|=|arcsin(sin(f(x3)))arcsin(sin(f(x4)))|<ε, lo que contradice la elección de ε.

En segundo lugar, si hay algo de nx1,x2[(n12)π,(n+12)π], entonces el argumento del párrafo anterior muestra |f(x1)f(x2)|<ε.

Bueno, casi; f(x) puede hacer excursiones en el siguiente intervalo, pero cualquier excursión es de menos de ε, así que al menos podemos concluir |f(x1)f(x2)|<2ε.

Y por último, si los párrafos anteriores no se aplican, entonces, por alguna n, x1,x2[(n12)π,(n+32)π], y de nuevo llegamos |f(x1)f(x2)|<2ε.

(No tengo tiempo para limpiar hasta los últimos detalles, pero estoy totalmente convencido de que esto es fácil, si algo tedioso.)

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