¿Existe alguna función continua pero no uniformemente continua tal que es uniformemente continua?
En realidad, todos los ejemplos que estoy tomando para hacen que la función compuesta no sea uniformemente continua. No estoy seguro.
¿Existe alguna función continua pero no uniformemente continua tal que es uniformemente continua?
En realidad, todos los ejemplos que estoy tomando para hacen que la función compuesta no sea uniformemente continua. No estoy seguro.
Esta respuesta es completamente reescrito para mayor claridad. La idea es la misma que antes:
Suponga que es continuo, y que es uniformemente continua. A continuación, es uniformemente continua.
Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que la inversa de la función seno es uniformemente continua. Por lo tanto, vamos a , y recoger , de modo que implica .
A continuación, utilice el uniforme de la continuidad de la a recoger , de modo que implica .
Ahora suponga .
Voy a escribir para el intervalo cerrado con puntos finales , incluso si se da el caso de que .
En primer lugar, afirmo que la . Por otra parte, hay algunos entero , y a continuación, podemos encontrar con , , y todos los . Pero para en este intervalo, , y nos encontramos con , y por lo tanto lo que contradice la elección de .
En segundo lugar, si hay algo de , entonces el argumento del párrafo anterior muestra .
Bueno, casi; puede hacer excursiones en el siguiente intervalo, pero cualquier excursión es de menos de , así que al menos podemos concluir .
Y por último, si los párrafos anteriores no se aplican, entonces, por alguna , , y de nuevo llegamos .
(No tengo tiempo para limpiar hasta los últimos detalles, pero estoy totalmente convencido de que esto es fácil, si algo tedioso.)
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