¿Existe alguna función continua pero no uniformemente continua$f(x)$ tal que$\sin(f(x))$ es uniformemente continua?

Question

¿Existe alguna función continua pero no uniformemente continua$f(x)$ tal que$\sin(f(x))$ es uniformemente continua?

En realidad, todos los ejemplos que estoy tomando para$f$ hacen que la función compuesta no sea uniformemente continua. No estoy seguro.

Answer 1

Esta respuesta es completamente reescrito para mayor claridad. La idea es la misma que antes:

Suponga que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continuo, y que $x\mapsto\sin(f(x))$ es uniformemente continua. A continuación, $f$ es uniformemente continua.

Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que la inversa de la función seno es uniformemente continua. Por lo tanto, vamos a $0<\varepsilon<\pi$, y recoger $\eta>0$, de modo que $\lvert y_1-y_2\rvert<\eta$ implica $\lvert\arcsin(y_1)-\arcsin(y_2)\rvert<\varepsilon$.

A continuación, utilice el uniforme de la continuidad de la $x\mapsto\sin(f(x))$ a recoger $\delta>0$, de modo que $\lvert x_1-x_2\rvert<\delta$ implica $\lvert \sin(f(x_1))-\sin(f(x_2))\rvert<\eta$.

Ahora suponga $x_1<x_2<x_1+\delta$.

Voy a escribir $[a,b]$ para el intervalo cerrado con puntos finales $a$$b$, incluso si se da el caso de que $b<a$.

En primer lugar, afirmo que la $\lvert f(x_1)-f(x_2)\rvert<\pi$. Por otra parte, hay algunos entero $n$$[(n-\frac12)\pi,(n+\frac12)\pi]\subseteq[f(x_1),f(x_2)]$, y a continuación, podemos encontrar $x_3,x_4\in[x_1,x_2]$ con $f(x_3)=(n-\frac12)\pi$, $f(x_4)=(n+\frac12)\pi$, y $f(x)\in[(n-\frac12)\pi,(n+\frac12)\pi]$ todos los $x\in[x_3,x_4]$. Pero para $x$ en este intervalo, $f(x)=n\pi+(-1)^n\arcsin(\sin(f(x)))$, y nos encontramos con $\lvert \sin(f(x_3))-\sin(f(x_4))\rvert<\eta$, y por lo tanto $$\pi=\lvert f(x_3)-f(x_4)\rvert=\lvert\arcsin(\sin(f(x_3)))-\arcsin(\sin(f(x_4)))\rvert<\varepsilon,$$ lo que contradice la elección de $\varepsilon$.

En segundo lugar, si hay algo de $n$$x_1,x_2\in[(n-\frac12)\pi,\le(n+\frac12)\pi]$, entonces el argumento del párrafo anterior muestra $\lvert f(x_1)-f(x_2)\rvert<\varepsilon$.

Bueno, casi; $f(x)$ puede hacer excursiones en el siguiente intervalo, pero cualquier excursión es de menos de $\varepsilon$, así que al menos podemos concluir $\lvert f(x_1)-f(x_2)\rvert<2\varepsilon$.

Y por último, si los párrafos anteriores no se aplican, entonces, por alguna $n$, $x_1,x_2\in[(n-\frac12)\pi,\le(n+\frac32)\pi]$, y de nuevo llegamos $\lvert f(x_1)-f(x_2)\rvert<2\varepsilon$.

(No tengo tiempo para limpiar hasta los últimos detalles, pero estoy totalmente convencido de que esto es fácil, si algo tedioso.)