El toro como una curva de plano proyectivo$x^3+y^3+z^3=0$

Question

El polinomio homogéneo $F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$ define claramente una suave curva proyectiva $X\subset\mathbb{P}^2$.

Es fácil ver que $\pi:X\rightarrow\mathbb{P}^1$ definido por $$\pi([x:y:z])=[x:y] \ , $$ es un lugar bien definido holomorphic mapa de grado $3$. Ahora, si nos vamos a $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ ser los tres raíz cúbica de a $-1$, uno puede mostrar que la única ramificación puntos de $\pi$$[\epsilon_1:1:0],[\epsilon_2:1:0],[\epsilon_3:1:0]$, y todos ellos son el triple de puntos, por lo tanto, por Riemann-Hurwitz la fórmula nos encontramos con que $$g(X)=1 \ , $$ por lo tanto, $X$ es isomorfo a un toro $\mathbb{C}/\Lambda$.

Mi pregunta es: ¿cómo este isomorfismo "trabajo"? No puedo ver..

Answer 1

La cobertura del mapa de $f\colon \mathbb{C} \to X$ está definido por $$ f(z) \;=\; \bigl[-\mathrm{cm}(z) : -\mathrm{sm}(z) : 1\bigr] $$ donde $\mathrm{cm}(z)$ $\mathrm{sm}(z)$ son los Dixonian elíptica funciones (que son conocidos para satisfacer $\mathrm{cm}(z)^3 +\mathrm{sm}(z)^3 = 1$). Ver esta respuesta por el usuario "Adivina quién es" para una visión general de la Dixonian elíptica funciones, incluyendo fotografías de ellos en el plano complejo.

El entramado $\Lambda$ en este caso es $\pi_3\mathbb{Z} + \pi_3e^{2\pi i/3}\mathbb{Z}$, que es una red regular de triángulos equiláteros en el plano complejo. Aquí $\pi_3 \approx 5.29992$ es el valor de $B(1/3,1/3)$, donde $B$ es la función beta de Euler. (Uno podría, por supuesto, eliminar el $\pi_3$'s mediante el uso de la función de $f(\pi_3 z)$ lugar.)

Tenga en cuenta que $\mathrm{cm}(z)$ $\mathrm{sm}(z)$ tiene polos, y que la función de $f$ puede ser extendido holomorphically a estos polos para hacer la cubierta mapa en. En particular, $$ f\bigl(-\pi_3/3\bigr) \;=\; [1:-1:0]\qquad\text{y}\qquad f\bigl(e^{\pm i\pi/3}\pi_3/3\bigr) \;=\; \bigl[1:e^{\pm i\pi/3}:0\bigr]. $$