Interpretación geométrica de la desigualdad de reordenamiento

Question

Sabemos que muchos de los famosos clásicos de la desigualdad de interpretaciones geométricas. Se puede dar una interpretación geométrica de la Reordenación de la Desigualdad?

Nota: el Reordenamiento de la Desigualdad es

$$x_ny_1 + \ldots + x_1y_n \leq x_{\sigma(1)}y_1+ \ldots + x_{\sigma(n)}y_n \leq x_1y_1+\ldots + x_ny_n$$

para cada elección de los números reales

$$x_1 \leq \ldots \leq x_n$$ y

$$y_1 \leq \ldots \leq y_n$$

y cada permutación $x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}$$x_1, \ldots , x_n$.

La página de wikipedia de la reorganización de la desigualdad se puede encontrar aquí

Answer 1

Aquí es una interpretación (y prueba) de la reorganización de la desigualdad, en las imágenes que se asemejan a las del arte abstracto.

Dibujar un $x_1 + \dots + x_n$ $y_1 + \dots + y_n$ rectángulo, dividido en columnas de anchura $x_1, \dots, x_n$ e hileras de altura $y_1, \dots, y_n$. Una suma de la forma $$x_{\sigma(1)}y_1+ \dots + x_{\sigma(n)}y_n$$ is equivalent to choosing $$ n de las células, uno en cada fila y en cada columna, y la búsqueda de su área total. Una de esas áreas se muestra a continuación.

Vamos a empezar por la comparación de dos opciones de $\sigma$ que difieren sólo por un único transposición, como se muestra en el diagrama de abajo. (Un área está en rojo, el otro en azul, con superposiciones de color morado.)

Esto nos permite centrarnos en sólo un $2 \times 2$ ejemplo: el lugar donde los dos permutaciones de acuerdo. Podemos tirar todas las filas y columnas donde ellos están de acuerdo y hacer zoom en que:

Aquí, las dos columnas de ancho de $x_1 < x_2$ y los que tienen dos filas de altura $y_1 < y_2$. La zona roja es $x_1 y_2 + x_2 y_1$ y la zona azul es $x_1 y_1 + x_2 y_2$. Voy a demostrar que el azul es más grande que el rojo por el emparejamiento de igualdad de áreas, y viendo la zona azul de la izquierda sobre:

Aquí, hemos subdividido el rectángulo en columnas de anchura $x_1, x_1, x_2-x_1$ e hileras de altura $y_1, y_1, y_2-y_1$. En las dos primeras filas y las dos primeras columnas, se ha vinculado cada celda de color rojo con azul de células de igual área. Pero la parte superior derecha de la célula, que tiene área de $(x_2 -x_1)(y_2 -y_1)$, es de color azul y no apareados. Por lo que la zona azul es mayor!

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Ahora el reordenamiento de la desigualdad de la siguiente manera. Sabemos que si hacemos los cambios locales (tales como los de rojo a azul en el segundo diagrama) que traen las dos secuencias más cerca de la misma orden, que aumentar el área. De una arbitraria producto $x_{\sigma(1)}y_1+ \dots + x_{\sigma(n)}y_n$, si seguimos haciendo tales swaps, mientras que son posibles, que finalmente el producto $x_1y_1 + \dots + x_ny_n$, por lo que sabemos de este producto es la más grande.

Del mismo modo, si hacemos lo contrario los cambios locales, trayendo las dos secuencias más cerca de los pedidos de enfrente, que disminuye el área. De una arbitraria producto $x_{\sigma(1)}y_1+ \dots + x_{\sigma(n)}y_n$, si seguimos haciendo tales swaps, sien ethey posibles, que con el tiempo el producto $x_1y_n + \dots + x_ny_1$, así que sabemos que este producto es lo de menos.

Answer 2

Una interpretación que se deriva del hecho de que un rectángulo con un perímetro dado tiene el área máxima cuando el rectángulo es un cuadrado.

Además si los lados de un rectángulo son a $w_0,l_0$ y otro rectángulo con el mismo perímetro tiene lados $w_1,l_1$ si $|l_0-w_0| < |l_1-w_1|$ luego la primera a la del rectángulo de área será mayor que el segundo.

Reorganización de las secuencias de $x_i,y_i$ tiende a hacer que los productos de mayor tamaño. Es como si tuviera un montón de anchos y largos, desea componer rectángulos de ellos, cuya suma de las áreas es maximizada. Luego de hacer los rectángulos como cerca de plazas posible maximiza la suma de las áreas.

Esto no es un argumento riguroso, pero podría ser de manera rigurosa mediante la inclusión de los elementos de la prueba de la desigualdad en el argumento.

Por ejemplo, el uso de la ascendente secuencias de $x_0,x_1$ $y_0,y_1$ esto puede verse fácilmente que el $x_0y_0+x_1y_1 \geq x_0y_1+x_1y_0 ==> (x_1-x_0)y_1 > (x_1-x_0)y_0$ y que, por ende, de los dos posibles composiciones de rectángulos el uno con el más grande y el más pequeño rectángulo tiene un área mayor que el que está con los dos tienen un tamaño intermedio entre los rectángulos.

De la misma manera que la desigualdad resulta de la suma de los productos se maximiza cuando los productos son factores correspondientes de secuencias ordenadas, la interpretación geométrica es que las áreas del rectángulo se maximiza cuando el ancho y el largo son tomadas de secuencias ordenadas.