Idea detrás del patrón visto en la topología

Question

En topología, me han llegado a través de un "patrón" que consiste en una larga o subconjunto de una secuencia o conjunto. Por ejemplo, esta definición de un segundo contables espacio de usos:

Un espacio topológico $T$ es segundo contable si existe alguna contables de la colección de $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i=1}^{\infty}$ de subconjuntos abiertos de $T$ tal que cualquier subconjunto de a $T$ puede ser escrito como una unión de elementos de algunos subfamilia de $\mathcal{U}$.

Otra variante de que "el patrón" se puede encontrar en:

Deje $\{x_n\}$ ser un almacén de secuencia de tal forma que cada convergente larga converge a $L$. A continuación, $\lim_{n\to\infty}x_n = L.$

¿Cuál es la idea detrás de ese patrón de una larga/subconjunto de secuencia/set? Me doy cuenta de que los dos ejemplos son diferentes, yo soy no diciendo que son lo mismo, pero me parece que comparten una importante idea de "un sub-cosa de una cosa hace esto o aquello" en su construcción, y es que la idea y el proceso de pensamiento que me gustaría conseguir.

Como un bono de la pregunta: en qué campos y sub-campos de las matemáticas es que la idea más frecuente usado? Aparece sólo en el correo.g (alguna rama de) topología, o es que también se utiliza, por ejemplo, en (alguna rama de) el álgebra?

Answer 1

No estoy seguro exactamente lo que está buscando, pero estos dos conceptos me parecen indicar una cierta idea de la compacidad. La compacidad se vuelve importante en el análisis debido a que se conserva a través de imágenes continuas, es decir, la imagen continua de un compacto es compacto. Esto es importante porque nos permite mostrar, por ejemplo, si $f$ es continua y $x_n \in A$ donde $A$ es compacto, que mientras se muestra el $f(x_n)$ converge no implica que $x_n$ converge, ya que $A$ es compacto, $x_n$ debe tener un convergentes subsequence $x_{n_k} \to z$, y como consecuencia de la continuidad, $f(x_n)$ convergerán a $f(z)$. En general compacto conjuntos son a menudo mucho más agradable que en otros conjuntos, porque de algunos de estos subsequential y subconjunto de propiedades.

Answer 2

Un espacio topológico $T$ es segundo contable si existe alguna contables de la colección de $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i=1}^{\infty}$ de subconjuntos abiertos de $T$ tal que cualquier subconjunto de a $T$ puede ser escrito como una unión de elementos de algunos subfamilia de $\mathcal{U}$.

La propiedad de la segunda countability de un espacio topológico $T$ se caracteriza por tener una contables de la base.

El patrón observado aquí es una realización del principio fundamental de la búsqueda de bloques básicos de construcción de estructuras matemáticas. También podemos ver este patrón, por ejemplo, cuando se mira en espacios vectoriales $V$ y bases de $V$.

Deje $\{x_n\}$ ser un almacén de secuencia de tal forma que cada convergente larga converge a $L$. A continuación, $\lim_{n\to\infty}x_n = L.$

Aunque el patrón aquí se ve similares a las anteriores, creo que el principio detrás de esto es un poco diferente. Delimitada secuencias son agradables, pero generalmente convergente secuencias son mucho más agradables para trabajar con y es natural preguntarse: ¿Qué propiedades adicionales son necesarias para que un delimitada de la secuencia convergente?

En este caso no estamos buscando bloques de construcción básicos como el anterior, pero en lugar de una propiedad compartida por todos los sub-estructuras (es decir, todos convergentes subsecuencias convergen a $L$).

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Nota: creo que la identificación de estos patrones es grande y esencial para un fructífero desarrollo matemático. Pero también debemos revisar cuidadosamente las interpretaciones que vienen a la mente antes de aceptarlas.

La compacidad y la segunda countability son bastante diferentes conceptos en general de espacios topológicos. Hay espacios topológicos para cada una de las cuatro combinaciones: compacidad (sí/no) y la segunda countability (sí/no). Otro aspecto que indica una diferencia fundamental es que los innumerables producto de un topológicos compactos espacio es compacto, mientras que los innumerables producto de una segunda contables espacio no necesita ser segundo contables.

Sugerencia: Un gran recurso para buscar espacios topológicos tener propiedades específicas y buscar propiedades topológicas y su relación es Contraejemplos en la Topología de L. A. Steen y L. A. Seebach.

Answer 3

He aquí una cosa que me he dado cuenta. En topología, las preguntas acerca de la cardinalidad llegar a ser muy importante. Aquí tienes una muy sencilla idea para demostrar esto: una unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada, sino una unión de un número infinito de conjuntos cerrados no puede ser cerrado. Ya tenemos tantos problemas.

Esta es la razón por la compacidad es una propiedad importante. ¿Cómo se puede conectar el infinito a lo finito? Si usted tiene una infinidad de abre los conjuntos de hacer algo, quiere SÓLO un número finito de ellos para hacer el trabajo.

Un trivial ejemplo de esto sería considerar la posibilidad de una función continua $f:X\rightarrow Y$ de los espacios métricos. Si $X$ es compacto, entonces $f(X)$ es compacto, lo que para cualquier infinita apertura de la tapa hay un número finito de abiertos subcover, y si se pretende que la cubrimos $f(X)$ por infinidad delimitada abrir sets, sólo necesitamos un número finito de ellos para hacer el trabajo, por lo $f(X)$ sí está acotada. Esta es la base para el teorema del valor extremo para mostrar $f$ tiene un máximo y un mínimo.

Yo no puedo pensar en otra cosa, en la parte superior de mi cabeza, pero también puedo decir que la cuestión de contables vs innumerables probablemente es demasiado importante.

En álgebra abstracta (al menos en el nivel de primaria), la cuestión de la cardinalidad no es muy importante, así que no es ninguna sorpresa que no veo este tema, mostrando hasta allí.

En realidad, ahora que lo pienso, creo que la categoría de la teoría es un buen ejemplo donde se relacionan las cosas a su sub-cosas.

Answer 4

Hay muchos cardenales asociados con una determinada topología $T$ sobre un conjunto $X$. Estos son los llamados topológico funciones cardinales.

Ejemplos: El peso de la $w(T)$ es el menos infinito cardenal $k$ tal que $T$ tiene una base $B$$|B|\leq k$. Segundo countability de $T$ $w(T)=\aleph_0.$ La densidad de $d(T)$ es el menos infinito cardenal $k$ tal que $X$ tiene un subconjunto denso $Y$$|Y|\leq k$. Divisibilidad significa $d(T)=\aleph_0$. La celularidad de las $c(T)$ es el menos infinito cardenal $k$ que si $F$ es una familia de pares distintos subconjuntos abiertos de $X$ $|F|\leq k.$

Hay muchos otros. Es común escribir $f(X)$ en lugar de $f(T$) $f$ es una de las principales l cardenal función de $T.$ Y definimos $hf(X)=\sup\{ f(Y):Y\subset X\}.$ ($h$ es para "hereditario").

Siempre tenemos $hw(X)=w(X)\geq d(X)\geq c(X)$, pero hay otros a los mejores l cardenal funciones que no corresponden a este patrón.

Para un espacio métrico $X$ tenemos $w(X)=d(X)=hd(X)=c(X)=hc(X).$ Esto es útil para probar muchas cosas sobre abierto o cerrado subconjuntos de a $\mathbb R^n .$

Countability es importante en la Teoría de la Medida, por ejemplo, en el desarrollo de la medida de Lebesgue, y mucho de su uso es el hecho de que tantos l cardenal funciones en $\mathbb R^n$ tienen el valor de $\aleph_0$.